Zgjidh 81x^2-54x+9=0

$$81 x ^ { 2 } - 54 x + 9 = 0$$

Gjej x

$$x=\frac{1}{3}\approx 0.333333333$$

Hapat që përdorin faktorizimin nëpërmjet grupimit

Pjesëto të dyja anët me 9.

$$9x^{2}-6x+1=0$$

Për të zgjidhur ekuacionin, faktorizo anën e majtë nëpërmjet grupimit. Së pari, ana e majtë duhet të rishkruhet si 9x^{2}+ax+bx+1. Për të gjetur a dhe b, parametrizo një sistem për ta zgjidhur.

$$a+b=-6 ab=9\times 1=9$$

Meqenëse ab është pozitive, a dhe b kanë shenjë të njëjtë. Meqenëse a+b është negative, a dhe b janë të dyja negative. Listo të gjitha këto çifte numrash të plotë që japin prodhimin 9.

$$-1,-9 -3,-3$$

Llogarit shumën për çdo çift.

$$-1-9=-10 -3-3=-6$$

Zgjidhja është çifti që jep shumën -6.

$$a=-3 b=-3$$

Rishkruaj 9x^{2}-6x+1 si \left(9x^{2}-3x\right)+\left(-3x+1\right).

$$\left(9x^{2}-3x\right)+\left(-3x+1\right)$$

Faktorizo 3x në grupin e parë dhe -1 në të dytin.

$$3x\left(3x-1\right)-\left(3x-1\right)$$

Faktorizo pjesëtuesin e përbashkët 3x-1 duke përdorur vetinë e shpërndarjes.

$$\left(3x-1\right)\left(3x-1\right)$$

Rishkruaj si një katror binomi.

$$\left(3x-1\right)^{2}$$

Për të gjetur zgjidhjen e ekuacionit, zgjidh 3x-1=0.

$$x=\frac{1}{3}$$

Hapat që përdorin formulën e zgjidhjes së ekuacioneve të shkallës së dytë

Të gjitha ekuacionet e formës ax^{2}+bx+c=0 mund të zgjidhen duke përdorur formulën e zgjidhjes së ekuacioneve të shkallës së dytë: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula e zgjidhjes së ekuacioneve të shkallës së dytë jep dy zgjidhje, një kur ± është mbledhje dhe një kur është zbritje.

$$81x^{2}-54x+9=0$$

Ky ekuacion është në formën standarde: ax^{2}+bx+c=0. Zëvendëso a me 81, b me -54 dhe c me 9 në formulën e zgjidhjes së ekuacioneve të shkallës së dytë, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-54\right)±\sqrt{\left(-54\right)^{2}-4\times 81\times 9}}{2\times 81}$$

Ngri në fuqi të dytë -54.

$$x=\frac{-\left(-54\right)±\sqrt{2916-4\times 81\times 9}}{2\times 81}$$

Shumëzo -4 herë 81.

$$x=\frac{-\left(-54\right)±\sqrt{2916-324\times 9}}{2\times 81}$$

Shumëzo -324 herë 9.

$$x=\frac{-\left(-54\right)±\sqrt{2916-2916}}{2\times 81}$$

Mblidh 2916 me -2916.

$$x=\frac{-\left(-54\right)±\sqrt{0}}{2\times 81}$$

Gjej rrënjën katrore të 0.

$$x=-\frac{-54}{2\times 81}$$

E kundërta e -54 është 54.

$$x=\frac{54}{2\times 81}$$

Shumëzo 2 herë 81.

$$x=\frac{54}{162}$$

Thjeshto thyesën \frac{54}{162} në kufizat më të vogla duke zbritur dhe thjeshtuar 54.

$$x=\frac{1}{3}$$

Hapat për plotësimin e katrorit

Ekuacionet e shkallës së dytë si ky mund të zgjidhen duke plotësuar katrorin. Për të plotësuar katrorin, ekuacioni duhet të jetë në fillim në formën x^{2}+bx=c.

$$81x^{2}-54x+9=0$$

Zbrit 9 nga të dyja anët e ekuacionit.

$$81x^{2}-54x+9-9=-9$$

Zbritja e 9 nga vetja e tij jep 0.

$$81x^{2}-54x=-9$$

Pjesëto të dyja anët me 81.

$$\frac{81x^{2}-54x}{81}=-\frac{9}{81}$$

Pjesëtimi me 81 zhbën shumëzimin me 81.

$$x^{2}+\left(-\frac{54}{81}\right)x=-\frac{9}{81}$$

Thjeshto thyesën \frac{-54}{81} në kufizat më të vogla duke zbritur dhe thjeshtuar 27.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x=-\frac{9}{81}$$

Thjeshto thyesën \frac{-9}{81} në kufizat më të vogla duke zbritur dhe thjeshtuar 9.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x=-\frac{1}{9}$$

Pjesëto -\frac{2}{3}, koeficientin e kufizës x, me 2 për të marrë -\frac{1}{3}. Më pas mblidh katrorin e -\frac{1}{3} në të dyja anët e ekuacionit. Ky hap e bën anën e majtë të ekuacionit një katror të përsosur.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x+\left(-\frac{1}{3}\right)^{2}=-\frac{1}{9}+\left(-\frac{1}{3}\right)^{2}$$

Ngri në fuqi të dytë -\frac{1}{3} duke ngritur në fuqi të dytë që të dy, numëruesin dhe emëruesin e thyesës.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}=\frac{-1+1}{9}$$

Mblidh -\frac{1}{9} me \frac{1}{9} duke gjetur një emërues të përbashkët dhe duke mbledhur numëruesit. Pastaj zvogëlo thyesën në kufizat më të vogla nëse është e mundur.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}=0$$

Faktori x^{2}-\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}. Në përgjithësi, kur x^{2}+bx+c është një katror perfekt, mund të faktorizohet gjithmonë si \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{3}\right)^{2}=0$$

Gjej rrënjën katrore të të dyja anëve të ekuacionit.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{3}\right)^{2}}=\sqrt{0}$$

Thjeshto.

$$x-\frac{1}{3}=0 x-\frac{1}{3}=0$$

Mblidh \frac{1}{3} në të dyja anët e ekuacionit.

$$x=\frac{1}{3} x=\frac{1}{3}$$

Ekuacioni është zgjidhur tani. Zgjidhjet janë njëlloj.

$$x=\frac{1}{3}$$