Zgjidh 81x^2-180x+100

$$81 x ^ { 2 } - 180 x + 100$$

Faktorizo

$$\left(9x-10\right)^{2}$$

Hapat e zgjidhjes

Faktorizo shprehjen nëpërmjet grupimit. Së pari, shprehja duhet të rishkruhet si 81x^{2}+ax+bx+100. Për të gjetur a dhe b, parametrizo një sistem për ta zgjidhur.

$$a+b=-180 ab=81\times 100=8100$$

Meqenëse ab është pozitive, a dhe b kanë shenjë të njëjtë. Meqenëse a+b është negative, a dhe b janë të dyja negative. Listo të gjitha këto çifte numrash të plotë që japin prodhimin 8100.

$$-1,-8100 -2,-4050 -3,-2700 -4,-2025 -5,-1620 -6,-1350 -9,-900 -10,-810 -12,-675 -15,-540 -18,-450 -20,-405 -25,-324 -27,-300 -30,-270 -36,-225 -45,-180 -50,-162 -54,-150 -60,-135 -75,-108 -81,-100 -90,-90$$

Llogarit shumën për çdo çift.

$$-1-8100=-8101 -2-4050=-4052 -3-2700=-2703 -4-2025=-2029 -5-1620=-1625 -6-1350=-1356 -9-900=-909 -10-810=-820 -12-675=-687 -15-540=-555 -18-450=-468 -20-405=-425 -25-324=-349 -27-300=-327 -30-270=-300 -36-225=-261 -45-180=-225 -50-162=-212 -54-150=-204 -60-135=-195 -75-108=-183 -81-100=-181 -90-90=-180$$

Zgjidhja është çifti që jep shumën -180.

$$a=-90 b=-90$$

Rishkruaj 81x^{2}-180x+100 si \left(81x^{2}-90x\right)+\left(-90x+100\right).

$$\left(81x^{2}-90x\right)+\left(-90x+100\right)$$

Faktorizo 9x në grupin e parë dhe -10 në të dytin.

$$9x\left(9x-10\right)-10\left(9x-10\right)$$

Faktorizo pjesëtuesin e përbashkët 9x-10 duke përdorur vetinë e shpërndarjes.

$$\left(9x-10\right)\left(9x-10\right)$$

Rishkruaj si një katror binomi.

$$\left(9x-10\right)^{2}$$

Hapat që përdorin katrorin e binomit

Ky trinom ka formën e një katrori trinomi, ndoshta të shumëzuar me një faktor të përbashkët. Katrorët e trinomit mund të faktorizohen duke gjetur rrënjët katrore të termit të parë dhe të fundit.

$$factor(81x^{2}-180x+100)$$

Gjej faktorin më të madh të përbashkët të koeficienteve.

$$gcf(81,-180,100)=1$$

Gjej rrënjën katrore të kufizës së parë, 81x^{2}.

$$\sqrt{81x^{2}}=9x$$

Gjej rrënjën katrore të kufizës së fundit, 100.

$$\sqrt{100}=10$$

Katrori i trinomit është katrori i binomit që është shuma ose diferenca e rrënjëve katrore të kufizës së parë dhe të fundit, me shenjën e përcaktuar nga shenja e kufizës së mesit të katrorit të trinomit.

$$\left(9x-10\right)^{2}$$

Hapat që përdorin formulën e zgjidhjes së ekuacioneve të shkallës së dytë

Polinomi i shkallës së dytë mund të faktorizohet duke përdorur transformimin ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), ku x_{1} dhe x_{2} janë zgjidhjet e ekuacionit të shkallës së dytë ax^{2}+bx+c=0.

$$81x^{2}-180x+100=0$$

Të gjitha ekuacionet e formës ax^{2}+bx+c=0 mund të zgjidhen duke përdorur formulën e zgjidhjes së ekuacioneve të shkallës së dytë: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula e zgjidhjes së ekuacioneve të shkallës së dytë jep dy zgjidhje, një kur ± është mbledhje dhe një kur është zbritje.

$$x=\frac{-\left(-180\right)±\sqrt{\left(-180\right)^{2}-4\times 81\times 100}}{2\times 81}$$

Ngri në fuqi të dytë -180.

$$x=\frac{-\left(-180\right)±\sqrt{32400-4\times 81\times 100}}{2\times 81}$$

Shumëzo -4 herë 81.

$$x=\frac{-\left(-180\right)±\sqrt{32400-324\times 100}}{2\times 81}$$

Shumëzo -324 herë 100.

$$x=\frac{-\left(-180\right)±\sqrt{32400-32400}}{2\times 81}$$

Mblidh 32400 me -32400.

$$x=\frac{-\left(-180\right)±\sqrt{0}}{2\times 81}$$

Gjej rrënjën katrore të 0.

$$x=\frac{-\left(-180\right)±0}{2\times 81}$$

E kundërta e -180 është 180.

$$x=\frac{180±0}{2\times 81}$$

Shumëzo 2 herë 81.

$$x=\frac{180±0}{162}$$

Faktorizo shprehjen origjinale duke përdorur ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Zëvendëso \frac{10}{9} për x_{1} dhe \frac{10}{9} për x_{2}.

$$81x^{2}-180x+100=81\left(x-\frac{10}{9}\right)\left(x-\frac{10}{9}\right)$$

Zbrit \frac{10}{9} nga x duke gjetur një emërues të përbashkët dhe duke zbritur numëruesit. Më pas thjeshto thyesën në kufizat më të vogla nëse është e mundur.

$$81x^{2}-180x+100=81\times \frac{9x-10}{9}\left(x-\frac{10}{9}\right)$$

Zbrit \frac{10}{9} nga x duke gjetur një emërues të përbashkët dhe duke zbritur numëruesit. Më pas thjeshto thyesën në kufizat më të vogla nëse është e mundur.

$$81x^{2}-180x+100=81\times \frac{9x-10}{9}\times \frac{9x-10}{9}$$

Shumëzo \frac{9x-10}{9} herë \frac{9x-10}{9} duke shumëzuar numëruesin herë numëruesin dhe emëruesin herë emëruesin. Më pas thjeshtoje thyesën në kufizat më të vogla nëse është e mundur.

$$81x^{2}-180x+100=81\times \frac{\left(9x-10\right)\left(9x-10\right)}{9\times 9}$$

Shumëzo 9 herë 9.

$$81x^{2}-180x+100=81\times \frac{\left(9x-10\right)\left(9x-10\right)}{81}$$

Thjeshto faktorin më të madh të përbashkët 81 në 81 dhe 81.

$$81x^{2}-180x+100=\left(9x-10\right)\left(9x-10\right)$$

Vlerëso

$$\left(9x-10\right)^{2}$$