Zgjidh 81x^2+180x+100

$$81 x ^ { 2 } + 180 x + 100$$

Faktorizo

$$\left(9x+10\right)^{2}$$

Hapat e zgjidhjes

Faktorizo shprehjen nëpërmjet grupimit. Së pari, shprehja duhet të rishkruhet si 81x^{2}+ax+bx+100. Për të gjetur a dhe b, parametrizo një sistem për ta zgjidhur.

$$a+b=180 ab=81\times 100=8100$$

Meqenëse ab është pozitive, a dhe b kanë shenjë të njëjtë. Meqenëse a+b është pozitive, a dhe b janë të dyja pozitive. Listo të gjitha këto çifte numrash të plotë që japin prodhimin 8100.

$$1,8100 2,4050 3,2700 4,2025 5,1620 6,1350 9,900 10,810 12,675 15,540 18,450 20,405 25,324 27,300 30,270 36,225 45,180 50,162 54,150 60,135 75,108 81,100 90,90$$

Llogarit shumën për çdo çift.

$$1+8100=8101 2+4050=4052 3+2700=2703 4+2025=2029 5+1620=1625 6+1350=1356 9+900=909 10+810=820 12+675=687 15+540=555 18+450=468 20+405=425 25+324=349 27+300=327 30+270=300 36+225=261 45+180=225 50+162=212 54+150=204 60+135=195 75+108=183 81+100=181 90+90=180$$

Zgjidhja është çifti që jep shumën 180.

$$a=90 b=90$$

Rishkruaj 81x^{2}+180x+100 si \left(81x^{2}+90x\right)+\left(90x+100\right).

$$\left(81x^{2}+90x\right)+\left(90x+100\right)$$

Faktorizo 9x në grupin e parë dhe 10 në të dytin.

$$9x\left(9x+10\right)+10\left(9x+10\right)$$

Faktorizo pjesëtuesin e përbashkët 9x+10 duke përdorur vetinë e shpërndarjes.

$$\left(9x+10\right)\left(9x+10\right)$$

Rishkruaj si një katror binomi.

$$\left(9x+10\right)^{2}$$

Hapat që përdorin katrorin e binomit

Ky trinom ka formën e një katrori trinomi, ndoshta të shumëzuar me një faktor të përbashkët. Katrorët e trinomit mund të faktorizohen duke gjetur rrënjët katrore të termit të parë dhe të fundit.

$$factor(81x^{2}+180x+100)$$

Gjej faktorin më të madh të përbashkët të koeficienteve.

$$gcf(81,180,100)=1$$

Gjej rrënjën katrore të kufizës së parë, 81x^{2}.

$$\sqrt{81x^{2}}=9x$$

Gjej rrënjën katrore të kufizës së fundit, 100.

$$\sqrt{100}=10$$

Katrori i trinomit është katrori i binomit që është shuma ose diferenca e rrënjëve katrore të kufizës së parë dhe të fundit, me shenjën e përcaktuar nga shenja e kufizës së mesit të katrorit të trinomit.

$$\left(9x+10\right)^{2}$$

Hapat që përdorin formulën e zgjidhjes së ekuacioneve të shkallës së dytë

Polinomi i shkallës së dytë mund të faktorizohet duke përdorur transformimin ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), ku x_{1} dhe x_{2} janë zgjidhjet e ekuacionit të shkallës së dytë ax^{2}+bx+c=0.

$$81x^{2}+180x+100=0$$

Të gjitha ekuacionet e formës ax^{2}+bx+c=0 mund të zgjidhen duke përdorur formulën e zgjidhjes së ekuacioneve të shkallës së dytë: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula e zgjidhjes së ekuacioneve të shkallës së dytë jep dy zgjidhje, një kur ± është mbledhje dhe një kur është zbritje.

$$x=\frac{-180±\sqrt{180^{2}-4\times 81\times 100}}{2\times 81}$$

Ngri në fuqi të dytë 180.

$$x=\frac{-180±\sqrt{32400-4\times 81\times 100}}{2\times 81}$$

Shumëzo -4 herë 81.

$$x=\frac{-180±\sqrt{32400-324\times 100}}{2\times 81}$$

Shumëzo -324 herë 100.

$$x=\frac{-180±\sqrt{32400-32400}}{2\times 81}$$

Mblidh 32400 me -32400.

$$x=\frac{-180±\sqrt{0}}{2\times 81}$$

Gjej rrënjën katrore të 0.

$$x=\frac{-180±0}{2\times 81}$$

Shumëzo 2 herë 81.

$$x=\frac{-180±0}{162}$$

Faktorizo shprehjen origjinale duke përdorur ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Zëvendëso -\frac{10}{9} për x_{1} dhe -\frac{10}{9} për x_{2}.

$$81x^{2}+180x+100=81\left(x-\left(-\frac{10}{9}\right)\right)\left(x-\left(-\frac{10}{9}\right)\right)$$

Thjeshto të gjitha shprehjet e formës p-\left(-q\right) në p+q.

$$81x^{2}+180x+100=81\left(x+\frac{10}{9}\right)\left(x+\frac{10}{9}\right)$$

Mblidh \frac{10}{9} me x duke gjetur një emërues të përbashkët dhe duke mbledhur numëruesit. Pastaj zvogëlo thyesën në kufizat më të vogla nëse është e mundur.

$$81x^{2}+180x+100=81\times \frac{9x+10}{9}\left(x+\frac{10}{9}\right)$$

Mblidh \frac{10}{9} me x duke gjetur një emërues të përbashkët dhe duke mbledhur numëruesit. Pastaj zvogëlo thyesën në kufizat më të vogla nëse është e mundur.

$$81x^{2}+180x+100=81\times \frac{9x+10}{9}\times \frac{9x+10}{9}$$

Shumëzo \frac{9x+10}{9} herë \frac{9x+10}{9} duke shumëzuar numëruesin herë numëruesin dhe emëruesin herë emëruesin. Më pas thjeshtoje thyesën në kufizat më të vogla nëse është e mundur.

$$81x^{2}+180x+100=81\times \frac{\left(9x+10\right)\left(9x+10\right)}{9\times 9}$$

Shumëzo 9 herë 9.

$$81x^{2}+180x+100=81\times \frac{\left(9x+10\right)\left(9x+10\right)}{81}$$

Thjeshto faktorin më të madh të përbashkët 81 në 81 dhe 81.

$$81x^{2}+180x+100=\left(9x+10\right)\left(9x+10\right)$$

Vlerëso

$$\left(9x+10\right)^{2}$$