Zgjidh 81n^2+18n+1

$$81 n ^ { 2 } + 18 n + 1$$

Faktorizo

$$\left(9n+1\right)^{2}$$

Hapat e zgjidhjes

Faktorizo shprehjen nëpërmjet grupimit. Së pari, shprehja duhet të rishkruhet si 81n^{2}+an+bn+1. Për të gjetur a dhe b, parametrizo një sistem për ta zgjidhur.

$$a+b=18 ab=81\times 1=81$$

Meqenëse ab është pozitive, a dhe b kanë shenjë të njëjtë. Meqenëse a+b është pozitive, a dhe b janë të dyja pozitive. Listo të gjitha këto çifte numrash të plotë që japin prodhimin 81.

$$1,81 3,27 9,9$$

Llogarit shumën për çdo çift.

$$1+81=82 3+27=30 9+9=18$$

Zgjidhja është çifti që jep shumën 18.

$$a=9 b=9$$

Rishkruaj 81n^{2}+18n+1 si \left(81n^{2}+9n\right)+\left(9n+1\right).

$$\left(81n^{2}+9n\right)+\left(9n+1\right)$$

Faktorizo 9n në 81n^{2}+9n.

$$9n\left(9n+1\right)+9n+1$$

Faktorizo pjesëtuesin e përbashkët 9n+1 duke përdorur vetinë e shpërndarjes.

$$\left(9n+1\right)\left(9n+1\right)$$

Rishkruaj si një katror binomi.

$$\left(9n+1\right)^{2}$$

Hapat që përdorin katrorin e binomit

Ky trinom ka formën e një katrori trinomi, ndoshta të shumëzuar me një faktor të përbashkët. Katrorët e trinomit mund të faktorizohen duke gjetur rrënjët katrore të termit të parë dhe të fundit.

$$factor(81n^{2}+18n+1)$$

Gjej faktorin më të madh të përbashkët të koeficienteve.

$$gcf(81,18,1)=1$$

Gjej rrënjën katrore të kufizës së parë, 81n^{2}.

$$\sqrt{81n^{2}}=9n$$

Katrori i trinomit është katrori i binomit që është shuma ose diferenca e rrënjëve katrore të kufizës së parë dhe të fundit, me shenjën e përcaktuar nga shenja e kufizës së mesit të katrorit të trinomit.

$$\left(9n+1\right)^{2}$$

Hapat që përdorin formulën e zgjidhjes së ekuacioneve të shkallës së dytë

Polinomi i shkallës së dytë mund të faktorizohet duke përdorur transformimin ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), ku x_{1} dhe x_{2} janë zgjidhjet e ekuacionit të shkallës së dytë ax^{2}+bx+c=0.

$$81n^{2}+18n+1=0$$

Të gjitha ekuacionet e formës ax^{2}+bx+c=0 mund të zgjidhen duke përdorur formulën e zgjidhjes së ekuacioneve të shkallës së dytë: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula e zgjidhjes së ekuacioneve të shkallës së dytë jep dy zgjidhje, një kur ± është mbledhje dhe një kur është zbritje.

$$n=\frac{-18±\sqrt{18^{2}-4\times 81}}{2\times 81}$$

Ngri në fuqi të dytë 18.

$$n=\frac{-18±\sqrt{324-4\times 81}}{2\times 81}$$

Shumëzo -4 herë 81.

$$n=\frac{-18±\sqrt{324-324}}{2\times 81}$$

Mblidh 324 me -324.

$$n=\frac{-18±\sqrt{0}}{2\times 81}$$

Gjej rrënjën katrore të 0.

$$n=\frac{-18±0}{2\times 81}$$

Shumëzo 2 herë 81.

$$n=\frac{-18±0}{162}$$

Faktorizo shprehjen origjinale duke përdorur ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Zëvendëso -\frac{1}{9} për x_{1} dhe -\frac{1}{9} për x_{2}.

$$81n^{2}+18n+1=81\left(n-\left(-\frac{1}{9}\right)\right)\left(n-\left(-\frac{1}{9}\right)\right)$$

Thjeshto të gjitha shprehjet e formës p-\left(-q\right) në p+q.

$$81n^{2}+18n+1=81\left(n+\frac{1}{9}\right)\left(n+\frac{1}{9}\right)$$

Mblidh \frac{1}{9} me n duke gjetur një emërues të përbashkët dhe duke mbledhur numëruesit. Pastaj zvogëlo thyesën në kufizat më të vogla nëse është e mundur.

$$81n^{2}+18n+1=81\times \frac{9n+1}{9}\left(n+\frac{1}{9}\right)$$

Mblidh \frac{1}{9} me n duke gjetur një emërues të përbashkët dhe duke mbledhur numëruesit. Pastaj zvogëlo thyesën në kufizat më të vogla nëse është e mundur.

$$81n^{2}+18n+1=81\times \frac{9n+1}{9}\times \frac{9n+1}{9}$$

Shumëzo \frac{9n+1}{9} herë \frac{9n+1}{9} duke shumëzuar numëruesin herë numëruesin dhe emëruesin herë emëruesin. Më pas thjeshtoje thyesën në kufizat më të vogla nëse është e mundur.

$$81n^{2}+18n+1=81\times \frac{\left(9n+1\right)\left(9n+1\right)}{9\times 9}$$

Shumëzo 9 herë 9.

$$81n^{2}+18n+1=81\times \frac{\left(9n+1\right)\left(9n+1\right)}{81}$$

Thjeshto faktorin më të madh të përbashkët 81 në 81 dhe 81.

$$81n^{2}+18n+1=\left(9n+1\right)\left(9n+1\right)$$

Vlerëso

$$\left(9n+1\right)^{2}$$