Zgjidh 81x^2+90x+25

$$81 { x }^{ 2 } +90x+25$$

Faktorizo

$$\left(9x+5\right)^{2}$$

Hapat e zgjidhjes

Faktorizo shprehjen nëpërmjet grupimit. Së pari, shprehja duhet të rishkruhet si 81x^{2}+ax+bx+25. Për të gjetur a dhe b, parametrizo një sistem për ta zgjidhur.

$$a+b=90 ab=81\times 25=2025$$

Meqenëse ab është pozitive, a dhe b kanë shenjë të njëjtë. Meqenëse a+b është pozitive, a dhe b janë të dyja pozitive. Listo të gjitha këto çifte numrash të plotë që japin prodhimin 2025.

$$1,2025 3,675 5,405 9,225 15,135 25,81 27,75 45,45$$

Llogarit shumën për çdo çift.

$$1+2025=2026 3+675=678 5+405=410 9+225=234 15+135=150 25+81=106 27+75=102 45+45=90$$

Zgjidhja është çifti që jep shumën 90.

$$a=45 b=45$$

Rishkruaj 81x^{2}+90x+25 si \left(81x^{2}+45x\right)+\left(45x+25\right).

$$\left(81x^{2}+45x\right)+\left(45x+25\right)$$

Faktorizo 9x në grupin e parë dhe 5 në të dytin.

$$9x\left(9x+5\right)+5\left(9x+5\right)$$

Faktorizo pjesëtuesin e përbashkët 9x+5 duke përdorur vetinë e shpërndarjes.

$$\left(9x+5\right)\left(9x+5\right)$$

Rishkruaj si një katror binomi.

$$\left(9x+5\right)^{2}$$

Hapat që përdorin katrorin e binomit

Ky trinom ka formën e një katrori trinomi, ndoshta të shumëzuar me një faktor të përbashkët. Katrorët e trinomit mund të faktorizohen duke gjetur rrënjët katrore të termit të parë dhe të fundit.

$$factor(81x^{2}+90x+25)$$

Gjej faktorin më të madh të përbashkët të koeficienteve.

$$gcf(81,90,25)=1$$

Gjej rrënjën katrore të kufizës së parë, 81x^{2}.

$$\sqrt{81x^{2}}=9x$$

Gjej rrënjën katrore të kufizës së fundit, 25.

$$\sqrt{25}=5$$

Katrori i trinomit është katrori i binomit që është shuma ose diferenca e rrënjëve katrore të kufizës së parë dhe të fundit, me shenjën e përcaktuar nga shenja e kufizës së mesit të katrorit të trinomit.

$$\left(9x+5\right)^{2}$$

Hapat që përdorin formulën e zgjidhjes së ekuacioneve të shkallës së dytë

Polinomi i shkallës së dytë mund të faktorizohet duke përdorur transformimin ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), ku x_{1} dhe x_{2} janë zgjidhjet e ekuacionit të shkallës së dytë ax^{2}+bx+c=0.

$$81x^{2}+90x+25=0$$

Të gjitha ekuacionet e formës ax^{2}+bx+c=0 mund të zgjidhen duke përdorur formulën e zgjidhjes së ekuacioneve të shkallës së dytë: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula e zgjidhjes së ekuacioneve të shkallës së dytë jep dy zgjidhje, një kur ± është mbledhje dhe një kur është zbritje.

$$x=\frac{-90±\sqrt{90^{2}-4\times 81\times 25}}{2\times 81}$$

Ngri në fuqi të dytë 90.

$$x=\frac{-90±\sqrt{8100-4\times 81\times 25}}{2\times 81}$$

Shumëzo -4 herë 81.

$$x=\frac{-90±\sqrt{8100-324\times 25}}{2\times 81}$$

Shumëzo -324 herë 25.

$$x=\frac{-90±\sqrt{8100-8100}}{2\times 81}$$

Mblidh 8100 me -8100.

$$x=\frac{-90±\sqrt{0}}{2\times 81}$$

Gjej rrënjën katrore të 0.

$$x=\frac{-90±0}{2\times 81}$$

Shumëzo 2 herë 81.

$$x=\frac{-90±0}{162}$$

Faktorizo shprehjen origjinale duke përdorur ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Zëvendëso -\frac{5}{9} për x_{1} dhe -\frac{5}{9} për x_{2}.

$$81x^{2}+90x+25=81\left(x-\left(-\frac{5}{9}\right)\right)\left(x-\left(-\frac{5}{9}\right)\right)$$

Thjeshto të gjitha shprehjet e formës p-\left(-q\right) në p+q.

$$81x^{2}+90x+25=81\left(x+\frac{5}{9}\right)\left(x+\frac{5}{9}\right)$$

Mblidh \frac{5}{9} me x duke gjetur një emërues të përbashkët dhe duke mbledhur numëruesit. Pastaj zvogëlo thyesën në kufizat më të vogla nëse është e mundur.

$$81x^{2}+90x+25=81\times \frac{9x+5}{9}\left(x+\frac{5}{9}\right)$$

Mblidh \frac{5}{9} me x duke gjetur një emërues të përbashkët dhe duke mbledhur numëruesit. Pastaj zvogëlo thyesën në kufizat më të vogla nëse është e mundur.

$$81x^{2}+90x+25=81\times \frac{9x+5}{9}\times \frac{9x+5}{9}$$

Shumëzo \frac{9x+5}{9} herë \frac{9x+5}{9} duke shumëzuar numëruesin herë numëruesin dhe emëruesin herë emëruesin. Më pas thjeshtoje thyesën në kufizat më të vogla nëse është e mundur.

$$81x^{2}+90x+25=81\times \frac{\left(9x+5\right)\left(9x+5\right)}{9\times 9}$$

Shumëzo 9 herë 9.

$$81x^{2}+90x+25=81\times \frac{\left(9x+5\right)\left(9x+5\right)}{81}$$

Thjeshto faktorin më të madh të përbashkët 81 në 81 dhe 81.

$$81x^{2}+90x+25=\left(9x+5\right)\left(9x+5\right)$$

Vlerëso

$$\left(9x+5\right)^{2}$$