Zgjidh 8x^2-14x-15

$$8 { x }^{ 2 } -14x-15$$

Faktorizo

$$\left(2x-5\right)\left(4x+3\right)$$

Hapat e zgjidhjes

Faktorizo shprehjen nëpërmjet grupimit. Së pari, shprehja duhet të rishkruhet si 8x^{2}+ax+bx-15. Për të gjetur a dhe b, parametrizo një sistem për ta zgjidhur.

$$a+b=-14 ab=8\left(-15\right)=-120$$

Meqenëse ab është negative, a dhe b kanë shenja të kundërta. Meqenëse a+b është negative, numri negativ ka vlerë absolute më të madhe se ai pozitiv. Listo të gjitha këto çifte numrash të plotë që japin prodhimin -120.

$$1,-120 2,-60 3,-40 4,-30 5,-24 6,-20 8,-15 10,-12$$

Llogarit shumën për çdo çift.

$$1-120=-119 2-60=-58 3-40=-37 4-30=-26 5-24=-19 6-20=-14 8-15=-7 10-12=-2$$

Zgjidhja është çifti që jep shumën -14.

$$a=-20 b=6$$

Rishkruaj 8x^{2}-14x-15 si \left(8x^{2}-20x\right)+\left(6x-15\right).

$$\left(8x^{2}-20x\right)+\left(6x-15\right)$$

Faktorizo 4x në grupin e parë dhe 3 në të dytin.

$$4x\left(2x-5\right)+3\left(2x-5\right)$$

Faktorizo pjesëtuesin e përbashkët 2x-5 duke përdorur vetinë e shpërndarjes.

$$\left(2x-5\right)\left(4x+3\right)$$

Hapat që përdorin formulën e zgjidhjes së ekuacioneve të shkallës së dytë

Polinomi i shkallës së dytë mund të faktorizohet duke përdorur transformimin ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), ku x_{1} dhe x_{2} janë zgjidhjet e ekuacionit të shkallës së dytë ax^{2}+bx+c=0.

$$8x^{2}-14x-15=0$$

Të gjitha ekuacionet e formës ax^{2}+bx+c=0 mund të zgjidhen duke përdorur formulën e zgjidhjes së ekuacioneve të shkallës së dytë: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula e zgjidhjes së ekuacioneve të shkallës së dytë jep dy zgjidhje, një kur ± është mbledhje dhe një kur është zbritje.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{\left(-14\right)^{2}-4\times 8\left(-15\right)}}{2\times 8}$$

Ngri në fuqi të dytë -14.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196-4\times 8\left(-15\right)}}{2\times 8}$$

Shumëzo -4 herë 8.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196-32\left(-15\right)}}{2\times 8}$$

Shumëzo -32 herë -15.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196+480}}{2\times 8}$$

Mblidh 196 me 480.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{676}}{2\times 8}$$

Gjej rrënjën katrore të 676.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±26}{2\times 8}$$

E kundërta e -14 është 14.

$$x=\frac{14±26}{2\times 8}$$

Shumëzo 2 herë 8.

$$x=\frac{14±26}{16}$$

Tani zgjidhe ekuacionin x=\frac{14±26}{16} kur ± është plus. Mblidh 14 me 26.

$$x=\frac{40}{16}$$

Thjeshto thyesën \frac{40}{16} në kufizat më të vogla duke zbritur dhe thjeshtuar 8.

$$x=\frac{5}{2}$$

Tani zgjidhe ekuacionin x=\frac{14±26}{16} kur ± është minus. Zbrit 26 nga 14.

$$x=-\frac{12}{16}$$

Thjeshto thyesën \frac{-12}{16} në kufizat më të vogla duke zbritur dhe thjeshtuar 4.

$$x=-\frac{3}{4}$$

Faktorizo shprehjen origjinale duke përdorur ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Zëvendëso \frac{5}{2} për x_{1} dhe -\frac{3}{4} për x_{2}.

$$8x^{2}-14x-15=8\left(x-\frac{5}{2}\right)\left(x-\left(-\frac{3}{4}\right)\right)$$

Thjeshto të gjitha shprehjet e formës p-\left(-q\right) në p+q.

$$8x^{2}-14x-15=8\left(x-\frac{5}{2}\right)\left(x+\frac{3}{4}\right)$$

Zbrit \frac{5}{2} nga x duke gjetur një emërues të përbashkët dhe duke zbritur numëruesit. Më pas thjeshto thyesën në kufizat më të vogla nëse është e mundur.

$$8x^{2}-14x-15=8\times \frac{2x-5}{2}\left(x+\frac{3}{4}\right)$$

Mblidh \frac{3}{4} me x duke gjetur një emërues të përbashkët dhe duke mbledhur numëruesit. Pastaj zvogëlo thyesën në kufizat më të vogla nëse është e mundur.

$$8x^{2}-14x-15=8\times \frac{2x-5}{2}\times \frac{4x+3}{4}$$

Shumëzo \frac{2x-5}{2} herë \frac{4x+3}{4} duke shumëzuar numëruesin herë numëruesin dhe emëruesin herë emëruesin. Më pas thjeshtoje thyesën në kufizat më të vogla nëse është e mundur.

$$8x^{2}-14x-15=8\times \frac{\left(2x-5\right)\left(4x+3\right)}{2\times 4}$$

Shumëzo 2 herë 4.

$$8x^{2}-14x-15=8\times \frac{\left(2x-5\right)\left(4x+3\right)}{8}$$

Thjeshto faktorin më të madh të përbashkët 8 në 8 dhe 8.

$$8x^{2}-14x-15=\left(2x-5\right)\left(4x+3\right)$$

Vlerëso

$$\left(2x-5\right)\left(4x+3\right)$$