Zgjidh 77r^2+45r-18

$$77 r ^ { 2 } + 45 r - 18$$

Faktorizo

$$\left(11r-3\right)\left(7r+6\right)$$

Hapat e zgjidhjes

Faktorizo shprehjen nëpërmjet grupimit. Së pari, shprehja duhet të rishkruhet si 77r^{2}+ar+br-18. Për të gjetur a dhe b, parametrizo një sistem për ta zgjidhur.

$$a+b=45 ab=77\left(-18\right)=-1386$$

Meqenëse ab është negative, a dhe b kanë shenja të kundërta. Meqenëse a+b është pozitive, numri pozitiv ka vlerë absolute më të madhe se ai negativ. Listo të gjitha këto çifte numrash të plotë që japin prodhimin -1386.

$$-1,1386 -2,693 -3,462 -6,231 -7,198 -9,154 -11,126 -14,99 -18,77 -21,66 -22,63 -33,42$$

Llogarit shumën për çdo çift.

$$-1+1386=1385 -2+693=691 -3+462=459 -6+231=225 -7+198=191 -9+154=145 -11+126=115 -14+99=85 -18+77=59 -21+66=45 -22+63=41 -33+42=9$$

Zgjidhja është çifti që jep shumën 45.

$$a=-21 b=66$$

Rishkruaj 77r^{2}+45r-18 si \left(77r^{2}-21r\right)+\left(66r-18\right).

$$\left(77r^{2}-21r\right)+\left(66r-18\right)$$

Faktorizo 7r në grupin e parë dhe 6 në të dytin.

$$7r\left(11r-3\right)+6\left(11r-3\right)$$

Faktorizo pjesëtuesin e përbashkët 11r-3 duke përdorur vetinë e shpërndarjes.

$$\left(11r-3\right)\left(7r+6\right)$$

Hapat që përdorin formulën e zgjidhjes së ekuacioneve të shkallës së dytë

Polinomi i shkallës së dytë mund të faktorizohet duke përdorur transformimin ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), ku x_{1} dhe x_{2} janë zgjidhjet e ekuacionit të shkallës së dytë ax^{2}+bx+c=0.

$$77r^{2}+45r-18=0$$

Të gjitha ekuacionet e formës ax^{2}+bx+c=0 mund të zgjidhen duke përdorur formulën e zgjidhjes së ekuacioneve të shkallës së dytë: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula e zgjidhjes së ekuacioneve të shkallës së dytë jep dy zgjidhje, një kur ± është mbledhje dhe një kur është zbritje.

$$r=\frac{-45±\sqrt{45^{2}-4\times 77\left(-18\right)}}{2\times 77}$$

Ngri në fuqi të dytë 45.

$$r=\frac{-45±\sqrt{2025-4\times 77\left(-18\right)}}{2\times 77}$$

Shumëzo -4 herë 77.

$$r=\frac{-45±\sqrt{2025-308\left(-18\right)}}{2\times 77}$$

Shumëzo -308 herë -18.

$$r=\frac{-45±\sqrt{2025+5544}}{2\times 77}$$

Mblidh 2025 me 5544.

$$r=\frac{-45±\sqrt{7569}}{2\times 77}$$

Gjej rrënjën katrore të 7569.

$$r=\frac{-45±87}{2\times 77}$$

Shumëzo 2 herë 77.

$$r=\frac{-45±87}{154}$$

Tani zgjidhe ekuacionin r=\frac{-45±87}{154} kur ± është plus. Mblidh -45 me 87.

$$r=\frac{42}{154}$$

Thjeshto thyesën \frac{42}{154} në kufizat më të vogla duke zbritur dhe thjeshtuar 14.

$$r=\frac{3}{11}$$

Tani zgjidhe ekuacionin r=\frac{-45±87}{154} kur ± është minus. Zbrit 87 nga -45.

$$r=-\frac{132}{154}$$

Thjeshto thyesën \frac{-132}{154} në kufizat më të vogla duke zbritur dhe thjeshtuar 22.

$$r=-\frac{6}{7}$$

Faktorizo shprehjen origjinale duke përdorur ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Zëvendëso \frac{3}{11} për x_{1} dhe -\frac{6}{7} për x_{2}.

$$77r^{2}+45r-18=77\left(r-\frac{3}{11}\right)\left(r-\left(-\frac{6}{7}\right)\right)$$

Thjeshto të gjitha shprehjet e formës p-\left(-q\right) në p+q.

$$77r^{2}+45r-18=77\left(r-\frac{3}{11}\right)\left(r+\frac{6}{7}\right)$$

Zbrit \frac{3}{11} nga r duke gjetur një emërues të përbashkët dhe duke zbritur numëruesit. Më pas thjeshto thyesën në kufizat më të vogla nëse është e mundur.

$$77r^{2}+45r-18=77\times \frac{11r-3}{11}\left(r+\frac{6}{7}\right)$$

Mblidh \frac{6}{7} me r duke gjetur një emërues të përbashkët dhe duke mbledhur numëruesit. Pastaj zvogëlo thyesën në kufizat më të vogla nëse është e mundur.

$$77r^{2}+45r-18=77\times \frac{11r-3}{11}\times \frac{7r+6}{7}$$

Shumëzo \frac{11r-3}{11} herë \frac{7r+6}{7} duke shumëzuar numëruesin herë numëruesin dhe emëruesin herë emëruesin. Më pas thjeshtoje thyesën në kufizat më të vogla nëse është e mundur.

$$77r^{2}+45r-18=77\times \frac{\left(11r-3\right)\left(7r+6\right)}{11\times 7}$$

Shumëzo 11 herë 7.

$$77r^{2}+45r-18=77\times \frac{\left(11r-3\right)\left(7r+6\right)}{77}$$

Thjeshto faktorin më të madh të përbashkët 77 në 77 dhe 77.

$$77r^{2}+45r-18=\left(11r-3\right)\left(7r+6\right)$$

Vlerëso

$$\left(11r-3\right)\left(7r+6\right)$$