Zgjidh 7y^2-30y-25=0

$$7 y ^ { 2 } - 30 y - 25 = 0$$

Gjej y

$$y=-\frac{5}{7}\approx -0.714285714$$

$$y=5$$

Hapat që përdorin faktorizimin nëpërmjet grupimit

Për të zgjidhur ekuacionin, faktorizo anën e majtë nëpërmjet grupimit. Së pari, ana e majtë duhet të rishkruhet si 7y^{2}+ay+by-25. Për të gjetur a dhe b, parametrizo një sistem për ta zgjidhur.

$$a+b=-30 ab=7\left(-25\right)=-175$$

Meqenëse ab është negative, a dhe b kanë shenja të kundërta. Meqenëse a+b është negative, numri negativ ka vlerë absolute më të madhe se ai pozitiv. Listo të gjitha këto çifte numrash të plotë që japin prodhimin -175.

$$1,-175 5,-35 7,-25$$

Llogarit shumën për çdo çift.

$$1-175=-174 5-35=-30 7-25=-18$$

Zgjidhja është çifti që jep shumën -30.

$$a=-35 b=5$$

Rishkruaj 7y^{2}-30y-25 si \left(7y^{2}-35y\right)+\left(5y-25\right).

$$\left(7y^{2}-35y\right)+\left(5y-25\right)$$

Faktorizo 7y në grupin e parë dhe 5 në të dytin.

$$7y\left(y-5\right)+5\left(y-5\right)$$

Faktorizo pjesëtuesin e përbashkët y-5 duke përdorur vetinë e shpërndarjes.

$$\left(y-5\right)\left(7y+5\right)$$

Për të gjetur zgjidhjet e ekuacionit, zgjidh y-5=0 dhe 7y+5=0.

$$y=5 y=-\frac{5}{7}$$

Hapat që përdorin formulën e zgjidhjes së ekuacioneve të shkallës së dytë

Të gjitha ekuacionet e formës ax^{2}+bx+c=0 mund të zgjidhen duke përdorur formulën e zgjidhjes së ekuacioneve të shkallës së dytë: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula e zgjidhjes së ekuacioneve të shkallës së dytë jep dy zgjidhje, një kur ± është mbledhje dhe një kur është zbritje.

$$7y^{2}-30y-25=0$$

Ky ekuacion është në formën standarde: ax^{2}+bx+c=0. Zëvendëso a me 7, b me -30 dhe c me -25 në formulën e zgjidhjes së ekuacioneve të shkallës së dytë, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$y=\frac{-\left(-30\right)±\sqrt{\left(-30\right)^{2}-4\times 7\left(-25\right)}}{2\times 7}$$

Ngri në fuqi të dytë -30.

$$y=\frac{-\left(-30\right)±\sqrt{900-4\times 7\left(-25\right)}}{2\times 7}$$

Shumëzo -4 herë 7.

$$y=\frac{-\left(-30\right)±\sqrt{900-28\left(-25\right)}}{2\times 7}$$

Shumëzo -28 herë -25.

$$y=\frac{-\left(-30\right)±\sqrt{900+700}}{2\times 7}$$

Mblidh 900 me 700.

$$y=\frac{-\left(-30\right)±\sqrt{1600}}{2\times 7}$$

Gjej rrënjën katrore të 1600.

$$y=\frac{-\left(-30\right)±40}{2\times 7}$$

E kundërta e -30 është 30.

$$y=\frac{30±40}{2\times 7}$$

Shumëzo 2 herë 7.

$$y=\frac{30±40}{14}$$

Tani zgjidhe ekuacionin y=\frac{30±40}{14} kur ± është plus. Mblidh 30 me 40.

$$y=\frac{70}{14}$$

Pjesëto 70 me 14.

$$y=5$$

Tani zgjidhe ekuacionin y=\frac{30±40}{14} kur ± është minus. Zbrit 40 nga 30.

$$y=-\frac{10}{14}$$

Thjeshto thyesën \frac{-10}{14} në kufizat më të vogla duke zbritur dhe thjeshtuar 2.

$$y=-\frac{5}{7}$$

Ekuacioni është zgjidhur tani.

$$y=5 y=-\frac{5}{7}$$

Hapat për plotësimin e katrorit

Ekuacionet e shkallës së dytë si ky mund të zgjidhen duke plotësuar katrorin. Për të plotësuar katrorin, ekuacioni duhet të jetë në fillim në formën x^{2}+bx=c.

$$7y^{2}-30y-25=0$$

Mblidh 25 në të dyja anët e ekuacionit.

$$7y^{2}-30y-25-\left(-25\right)=-\left(-25\right)$$

Zbritja e -25 nga vetja e tij jep 0.

$$7y^{2}-30y=-\left(-25\right)$$

Zbrit -25 nga 0.

$$7y^{2}-30y=25$$

Pjesëto të dyja anët me 7.

$$\frac{7y^{2}-30y}{7}=\frac{25}{7}$$

Pjesëtimi me 7 zhbën shumëzimin me 7.

$$y^{2}-\frac{30}{7}y=\frac{25}{7}$$

Pjesëto -\frac{30}{7}, koeficientin e kufizës x, me 2 për të marrë -\frac{15}{7}. Më pas mblidh katrorin e -\frac{15}{7} në të dyja anët e ekuacionit. Ky hap e bën anën e majtë të ekuacionit një katror të përsosur.

$$y^{2}-\frac{30}{7}y+\left(-\frac{15}{7}\right)^{2}=\frac{25}{7}+\left(-\frac{15}{7}\right)^{2}$$

Ngri në fuqi të dytë -\frac{15}{7} duke ngritur në fuqi të dytë që të dy, numëruesin dhe emëruesin e thyesës.

$$y^{2}-\frac{30}{7}y+\frac{225}{49}=\frac{25}{7}+\frac{225}{49}$$

Mblidh \frac{25}{7} me \frac{225}{49} duke gjetur një emërues të përbashkët dhe duke mbledhur numëruesit. Pastaj zvogëlo thyesën në kufizat më të vogla nëse është e mundur.

$$y^{2}-\frac{30}{7}y+\frac{225}{49}=\frac{400}{49}$$

Faktori y^{2}-\frac{30}{7}y+\frac{225}{49}. Në përgjithësi, kur x^{2}+bx+c është një katror perfekt, mund të faktorizohet gjithmonë si \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(y-\frac{15}{7}\right)^{2}=\frac{400}{49}$$

Gjej rrënjën katrore të të dyja anëve të ekuacionit.

$$\sqrt{\left(y-\frac{15}{7}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{400}{49}}$$

Thjeshto.

$$y-\frac{15}{7}=\frac{20}{7} y-\frac{15}{7}=-\frac{20}{7}$$

Mblidh \frac{15}{7} në të dyja anët e ekuacionit.

$$y=5 y=-\frac{5}{7}$$