Zgjidh 7x^2-4x-11=0

$$7 x ^ { 2 } - 4 x - 11 = 0$$

Gjej x

$$x=-1$$

$$x = \frac{11}{7} = 1\frac{4}{7} \approx 1.571428571$$

Hapat që përdorin faktorizimin nëpërmjet grupimit

Për të zgjidhur ekuacionin, faktorizo anën e majtë nëpërmjet grupimit. Së pari, ana e majtë duhet të rishkruhet si 7x^{2}+ax+bx-11. Për të gjetur a dhe b, parametrizo një sistem për ta zgjidhur.

$$a+b=-4 ab=7\left(-11\right)=-77$$

Meqenëse ab është negative, a dhe b kanë shenja të kundërta. Meqenëse a+b është negative, numri negativ ka vlerë absolute më të madhe se ai pozitiv. Listo të gjitha këto çifte numrash të plotë që japin prodhimin -77.

$$1,-77 7,-11$$

Llogarit shumën për çdo çift.

$$1-77=-76 7-11=-4$$

Zgjidhja është çifti që jep shumën -4.

$$a=-11 b=7$$

Rishkruaj 7x^{2}-4x-11 si \left(7x^{2}-11x\right)+\left(7x-11\right).

$$\left(7x^{2}-11x\right)+\left(7x-11\right)$$

Faktorizo x në 7x^{2}-11x.

$$x\left(7x-11\right)+7x-11$$

Faktorizo pjesëtuesin e përbashkët 7x-11 duke përdorur vetinë e shpërndarjes.

$$\left(7x-11\right)\left(x+1\right)$$

Për të gjetur zgjidhjet e ekuacionit, zgjidh 7x-11=0 dhe x+1=0.

$$x=\frac{11}{7} x=-1$$

Hapat që përdorin formulën e zgjidhjes së ekuacioneve të shkallës së dytë

Të gjitha ekuacionet e formës ax^{2}+bx+c=0 mund të zgjidhen duke përdorur formulën e zgjidhjes së ekuacioneve të shkallës së dytë: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula e zgjidhjes së ekuacioneve të shkallës së dytë jep dy zgjidhje, një kur ± është mbledhje dhe një kur është zbritje.

$$7x^{2}-4x-11=0$$

Ky ekuacion është në formën standarde: ax^{2}+bx+c=0. Zëvendëso a me 7, b me -4 dhe c me -11 në formulën e zgjidhjes së ekuacioneve të shkallës së dytë, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{\left(-4\right)^{2}-4\times 7\left(-11\right)}}{2\times 7}$$

Ngri në fuqi të dytë -4.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-4\times 7\left(-11\right)}}{2\times 7}$$

Shumëzo -4 herë 7.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-28\left(-11\right)}}{2\times 7}$$

Shumëzo -28 herë -11.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16+308}}{2\times 7}$$

Mblidh 16 me 308.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{324}}{2\times 7}$$

Gjej rrënjën katrore të 324.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±18}{2\times 7}$$

E kundërta e -4 është 4.

$$x=\frac{4±18}{2\times 7}$$

Shumëzo 2 herë 7.

$$x=\frac{4±18}{14}$$

Tani zgjidhe ekuacionin x=\frac{4±18}{14} kur ± është plus. Mblidh 4 me 18.

$$x=\frac{22}{14}$$

Thjeshto thyesën \frac{22}{14} në kufizat më të vogla duke zbritur dhe thjeshtuar 2.

$$x=\frac{11}{7}$$

Tani zgjidhe ekuacionin x=\frac{4±18}{14} kur ± është minus. Zbrit 18 nga 4.

$$x=-\frac{14}{14}$$

Pjesëto -14 me 14.

$$x=-1$$

Ekuacioni është zgjidhur tani.

$$x=\frac{11}{7} x=-1$$

Hapat për plotësimin e katrorit

Ekuacionet e shkallës së dytë si ky mund të zgjidhen duke plotësuar katrorin. Për të plotësuar katrorin, ekuacioni duhet të jetë në fillim në formën x^{2}+bx=c.

$$7x^{2}-4x-11=0$$

Mblidh 11 në të dyja anët e ekuacionit.

$$7x^{2}-4x-11-\left(-11\right)=-\left(-11\right)$$

Zbritja e -11 nga vetja e tij jep 0.

$$7x^{2}-4x=-\left(-11\right)$$

Zbrit -11 nga 0.

$$7x^{2}-4x=11$$

Pjesëto të dyja anët me 7.

$$\frac{7x^{2}-4x}{7}=\frac{11}{7}$$

Pjesëtimi me 7 zhbën shumëzimin me 7.

$$x^{2}-\frac{4}{7}x=\frac{11}{7}$$

Pjesëto -\frac{4}{7}, koeficientin e kufizës x, me 2 për të marrë -\frac{2}{7}. Më pas mblidh katrorin e -\frac{2}{7} në të dyja anët e ekuacionit. Ky hap e bën anën e majtë të ekuacionit një katror të përsosur.

$$x^{2}-\frac{4}{7}x+\left(-\frac{2}{7}\right)^{2}=\frac{11}{7}+\left(-\frac{2}{7}\right)^{2}$$

Ngri në fuqi të dytë -\frac{2}{7} duke ngritur në fuqi të dytë që të dy, numëruesin dhe emëruesin e thyesës.

$$x^{2}-\frac{4}{7}x+\frac{4}{49}=\frac{11}{7}+\frac{4}{49}$$

Mblidh \frac{11}{7} me \frac{4}{49} duke gjetur një emërues të përbashkët dhe duke mbledhur numëruesit. Pastaj zvogëlo thyesën në kufizat më të vogla nëse është e mundur.

$$x^{2}-\frac{4}{7}x+\frac{4}{49}=\frac{81}{49}$$

Faktori x^{2}-\frac{4}{7}x+\frac{4}{49}. Në përgjithësi, kur x^{2}+bx+c është një katror perfekt, mund të faktorizohet gjithmonë si \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{2}{7}\right)^{2}=\frac{81}{49}$$

Gjej rrënjën katrore të të dyja anëve të ekuacionit.

$$\sqrt{\left(x-\frac{2}{7}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{81}{49}}$$

Thjeshto.

$$x-\frac{2}{7}=\frac{9}{7} x-\frac{2}{7}=-\frac{9}{7}$$

Mblidh \frac{2}{7} në të dyja anët e ekuacionit.

$$x=\frac{11}{7} x=-1$$