Zgjidh 64x^2-16x-35=0

$$64 { x }^{ 2 } -16x-35=0$$

Gjej x

$$x=-\frac{5}{8}=-0.625$$

$$x=\frac{7}{8}=0.875$$

Hapat që përdorin faktorizimin nëpërmjet grupimit

Për të zgjidhur ekuacionin, faktorizo anën e majtë nëpërmjet grupimit. Së pari, ana e majtë duhet të rishkruhet si 64x^{2}+ax+bx-35. Për të gjetur a dhe b, parametrizo një sistem për ta zgjidhur.

$$a+b=-16 ab=64\left(-35\right)=-2240$$

Meqenëse ab është negative, a dhe b kanë shenja të kundërta. Meqenëse a+b është negative, numri negativ ka vlerë absolute më të madhe se ai pozitiv. Listo të gjitha këto çifte numrash të plotë që japin prodhimin -2240.

$$1,-2240 2,-1120 4,-560 5,-448 7,-320 8,-280 10,-224 14,-160 16,-140 20,-112 28,-80 32,-70 35,-64 40,-56$$

Llogarit shumën për çdo çift.

$$1-2240=-2239 2-1120=-1118 4-560=-556 5-448=-443 7-320=-313 8-280=-272 10-224=-214 14-160=-146 16-140=-124 20-112=-92 28-80=-52 32-70=-38 35-64=-29 40-56=-16$$

Zgjidhja është çifti që jep shumën -16.

$$a=-56 b=40$$

Rishkruaj 64x^{2}-16x-35 si \left(64x^{2}-56x\right)+\left(40x-35\right).

$$\left(64x^{2}-56x\right)+\left(40x-35\right)$$

Faktorizo 8x në grupin e parë dhe 5 në të dytin.

$$8x\left(8x-7\right)+5\left(8x-7\right)$$

Faktorizo pjesëtuesin e përbashkët 8x-7 duke përdorur vetinë e shpërndarjes.

$$\left(8x-7\right)\left(8x+5\right)$$

Për të gjetur zgjidhjet e ekuacionit, zgjidh 8x-7=0 dhe 8x+5=0.

$$x=\frac{7}{8} x=-\frac{5}{8}$$

Hapat që përdorin formulën e zgjidhjes së ekuacioneve të shkallës së dytë

Të gjitha ekuacionet e formës ax^{2}+bx+c=0 mund të zgjidhen duke përdorur formulën e zgjidhjes së ekuacioneve të shkallës së dytë: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula e zgjidhjes së ekuacioneve të shkallës së dytë jep dy zgjidhje, një kur ± është mbledhje dhe një kur është zbritje.

$$64x^{2}-16x-35=0$$

Ky ekuacion është në formën standarde: ax^{2}+bx+c=0. Zëvendëso a me 64, b me -16 dhe c me -35 në formulën e zgjidhjes së ekuacioneve të shkallës së dytë, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-16\right)±\sqrt{\left(-16\right)^{2}-4\times 64\left(-35\right)}}{2\times 64}$$

Ngri në fuqi të dytë -16.

$$x=\frac{-\left(-16\right)±\sqrt{256-4\times 64\left(-35\right)}}{2\times 64}$$

Shumëzo -4 herë 64.

$$x=\frac{-\left(-16\right)±\sqrt{256-256\left(-35\right)}}{2\times 64}$$

Shumëzo -256 herë -35.

$$x=\frac{-\left(-16\right)±\sqrt{256+8960}}{2\times 64}$$

Mblidh 256 me 8960.

$$x=\frac{-\left(-16\right)±\sqrt{9216}}{2\times 64}$$

Gjej rrënjën katrore të 9216.

$$x=\frac{-\left(-16\right)±96}{2\times 64}$$

E kundërta e -16 është 16.

$$x=\frac{16±96}{2\times 64}$$

Shumëzo 2 herë 64.

$$x=\frac{16±96}{128}$$

Tani zgjidhe ekuacionin x=\frac{16±96}{128} kur ± është plus. Mblidh 16 me 96.

$$x=\frac{112}{128}$$

Thjeshto thyesën \frac{112}{128} në kufizat më të vogla duke zbritur dhe thjeshtuar 16.

$$x=\frac{7}{8}$$

Tani zgjidhe ekuacionin x=\frac{16±96}{128} kur ± është minus. Zbrit 96 nga 16.

$$x=-\frac{80}{128}$$

Thjeshto thyesën \frac{-80}{128} në kufizat më të vogla duke zbritur dhe thjeshtuar 16.

$$x=-\frac{5}{8}$$

Ekuacioni është zgjidhur tani.

$$x=\frac{7}{8} x=-\frac{5}{8}$$

Hapat për plotësimin e katrorit

Ekuacionet e shkallës së dytë si ky mund të zgjidhen duke plotësuar katrorin. Për të plotësuar katrorin, ekuacioni duhet të jetë në fillim në formën x^{2}+bx=c.

$$64x^{2}-16x-35=0$$

Mblidh 35 në të dyja anët e ekuacionit.

$$64x^{2}-16x-35-\left(-35\right)=-\left(-35\right)$$

Zbritja e -35 nga vetja e tij jep 0.

$$64x^{2}-16x=-\left(-35\right)$$

Zbrit -35 nga 0.

$$64x^{2}-16x=35$$

Pjesëto të dyja anët me 64.

$$\frac{64x^{2}-16x}{64}=\frac{35}{64}$$

Pjesëtimi me 64 zhbën shumëzimin me 64.

$$x^{2}+\left(-\frac{16}{64}\right)x=\frac{35}{64}$$

Thjeshto thyesën \frac{-16}{64} në kufizat më të vogla duke zbritur dhe thjeshtuar 16.

$$x^{2}-\frac{1}{4}x=\frac{35}{64}$$

Pjesëto -\frac{1}{4}, koeficientin e kufizës x, me 2 për të marrë -\frac{1}{8}. Më pas mblidh katrorin e -\frac{1}{8} në të dyja anët e ekuacionit. Ky hap e bën anën e majtë të ekuacionit një katror të përsosur.

$$x^{2}-\frac{1}{4}x+\left(-\frac{1}{8}\right)^{2}=\frac{35}{64}+\left(-\frac{1}{8}\right)^{2}$$

Ngri në fuqi të dytë -\frac{1}{8} duke ngritur në fuqi të dytë që të dy, numëruesin dhe emëruesin e thyesës.

$$x^{2}-\frac{1}{4}x+\frac{1}{64}=\frac{35+1}{64}$$

Mblidh \frac{35}{64} me \frac{1}{64} duke gjetur një emërues të përbashkët dhe duke mbledhur numëruesit. Pastaj zvogëlo thyesën në kufizat më të vogla nëse është e mundur.

$$x^{2}-\frac{1}{4}x+\frac{1}{64}=\frac{9}{16}$$

Faktori x^{2}-\frac{1}{4}x+\frac{1}{64}. Në përgjithësi, kur x^{2}+bx+c është një katror perfekt, mund të faktorizohet gjithmonë si \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{8}\right)^{2}=\frac{9}{16}$$

Gjej rrënjën katrore të të dyja anëve të ekuacionit.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{8}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{9}{16}}$$

Thjeshto.

$$x-\frac{1}{8}=\frac{3}{4} x-\frac{1}{8}=-\frac{3}{4}$$

Mblidh \frac{1}{8} në të dyja anët e ekuacionit.

$$x=\frac{7}{8} x=-\frac{5}{8}$$