Zgjidh 60x^2+57x=18

$$60 x ^ { 2 } + 57 x = 18$$

Gjej x

$$x = -\frac{6}{5} = -1\frac{1}{5} = -1.2$$

$$x=\frac{1}{4}=0.25$$

Hapat që përdorin faktorizimin nëpërmjet grupimit

Zbrit 18 nga të dyja anët.

$$60x^{2}+57x-18=0$$

Pjesëto të dyja anët me 3.

$$20x^{2}+19x-6=0$$

Për të zgjidhur ekuacionin, faktorizo anën e majtë nëpërmjet grupimit. Së pari, ana e majtë duhet të rishkruhet si 20x^{2}+ax+bx-6. Për të gjetur a dhe b, parametrizo një sistem për ta zgjidhur.

$$a+b=19 ab=20\left(-6\right)=-120$$

Meqenëse ab është negative, a dhe b kanë shenja të kundërta. Meqenëse a+b është pozitive, numri pozitiv ka vlerë absolute më të madhe se ai negativ. Listo të gjitha këto çifte numrash të plotë që japin prodhimin -120.

$$-1,120 -2,60 -3,40 -4,30 -5,24 -6,20 -8,15 -10,12$$

Llogarit shumën për çdo çift.

$$-1+120=119 -2+60=58 -3+40=37 -4+30=26 -5+24=19 -6+20=14 -8+15=7 -10+12=2$$

Zgjidhja është çifti që jep shumën 19.

$$a=-5 b=24$$

Rishkruaj 20x^{2}+19x-6 si \left(20x^{2}-5x\right)+\left(24x-6\right).

$$\left(20x^{2}-5x\right)+\left(24x-6\right)$$

Faktorizo 5x në grupin e parë dhe 6 në të dytin.

$$5x\left(4x-1\right)+6\left(4x-1\right)$$

Faktorizo pjesëtuesin e përbashkët 4x-1 duke përdorur vetinë e shpërndarjes.

$$\left(4x-1\right)\left(5x+6\right)$$

Për të gjetur zgjidhjet e ekuacionit, zgjidh 4x-1=0 dhe 5x+6=0.

$$x=\frac{1}{4} x=-\frac{6}{5}$$

Hapat që përdorin formulën e zgjidhjes së ekuacioneve të shkallës së dytë

Të gjitha ekuacionet e formës ax^{2}+bx+c=0 mund të zgjidhen duke përdorur formulën e zgjidhjes së ekuacioneve të shkallës së dytë: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula e zgjidhjes së ekuacioneve të shkallës së dytë jep dy zgjidhje, një kur ± është mbledhje dhe një kur është zbritje.

$$60x^{2}+57x=18$$

Zbrit 18 nga të dyja anët e ekuacionit.

$$60x^{2}+57x-18=18-18$$

Zbritja e 18 nga vetja e tij jep 0.

$$60x^{2}+57x-18=0$$

Ky ekuacion është në formën standarde: ax^{2}+bx+c=0. Zëvendëso a me 60, b me 57 dhe c me -18 në formulën e zgjidhjes së ekuacioneve të shkallës së dytë, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-57±\sqrt{57^{2}-4\times 60\left(-18\right)}}{2\times 60}$$

Ngri në fuqi të dytë 57.

$$x=\frac{-57±\sqrt{3249-4\times 60\left(-18\right)}}{2\times 60}$$

Shumëzo -4 herë 60.

$$x=\frac{-57±\sqrt{3249-240\left(-18\right)}}{2\times 60}$$

Shumëzo -240 herë -18.

$$x=\frac{-57±\sqrt{3249+4320}}{2\times 60}$$

Mblidh 3249 me 4320.

$$x=\frac{-57±\sqrt{7569}}{2\times 60}$$

Gjej rrënjën katrore të 7569.

$$x=\frac{-57±87}{2\times 60}$$

Shumëzo 2 herë 60.

$$x=\frac{-57±87}{120}$$

Tani zgjidhe ekuacionin x=\frac{-57±87}{120} kur ± është plus. Mblidh -57 me 87.

$$x=\frac{30}{120}$$

Thjeshto thyesën \frac{30}{120} në kufizat më të vogla duke zbritur dhe thjeshtuar 30.

$$x=\frac{1}{4}$$

Tani zgjidhe ekuacionin x=\frac{-57±87}{120} kur ± është minus. Zbrit 87 nga -57.

$$x=-\frac{144}{120}$$

Thjeshto thyesën \frac{-144}{120} në kufizat më të vogla duke zbritur dhe thjeshtuar 24.

$$x=-\frac{6}{5}$$

Ekuacioni është zgjidhur tani.

$$x=\frac{1}{4} x=-\frac{6}{5}$$

Hapat për plotësimin e katrorit

Ekuacionet e shkallës së dytë si ky mund të zgjidhen duke plotësuar katrorin. Për të plotësuar katrorin, ekuacioni duhet të jetë në fillim në formën x^{2}+bx=c.

$$60x^{2}+57x=18$$

Pjesëto të dyja anët me 60.

$$\frac{60x^{2}+57x}{60}=\frac{18}{60}$$

Pjesëtimi me 60 zhbën shumëzimin me 60.

$$x^{2}+\frac{57}{60}x=\frac{18}{60}$$

Thjeshto thyesën \frac{57}{60} në kufizat më të vogla duke zbritur dhe thjeshtuar 3.

$$x^{2}+\frac{19}{20}x=\frac{18}{60}$$

Thjeshto thyesën \frac{18}{60} në kufizat më të vogla duke zbritur dhe thjeshtuar 6.

$$x^{2}+\frac{19}{20}x=\frac{3}{10}$$

Pjesëto \frac{19}{20}, koeficientin e kufizës x, me 2 për të marrë \frac{19}{40}. Më pas mblidh katrorin e \frac{19}{40} në të dyja anët e ekuacionit. Ky hap e bën anën e majtë të ekuacionit një katror të përsosur.

$$x^{2}+\frac{19}{20}x+\left(\frac{19}{40}\right)^{2}=\frac{3}{10}+\left(\frac{19}{40}\right)^{2}$$

Ngri në fuqi të dytë \frac{19}{40} duke ngritur në fuqi të dytë që të dy, numëruesin dhe emëruesin e thyesës.

$$x^{2}+\frac{19}{20}x+\frac{361}{1600}=\frac{3}{10}+\frac{361}{1600}$$

Mblidh \frac{3}{10} me \frac{361}{1600} duke gjetur një emërues të përbashkët dhe duke mbledhur numëruesit. Pastaj zvogëlo thyesën në kufizat më të vogla nëse është e mundur.

$$x^{2}+\frac{19}{20}x+\frac{361}{1600}=\frac{841}{1600}$$

Faktori x^{2}+\frac{19}{20}x+\frac{361}{1600}. Në përgjithësi, kur x^{2}+bx+c është një katror perfekt, mund të faktorizohet gjithmonë si \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{19}{40}\right)^{2}=\frac{841}{1600}$$

Gjej rrënjën katrore të të dyja anëve të ekuacionit.

$$\sqrt{\left(x+\frac{19}{40}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{841}{1600}}$$

Thjeshto.

$$x+\frac{19}{40}=\frac{29}{40} x+\frac{19}{40}=-\frac{29}{40}$$

Zbrit \frac{19}{40} nga të dyja anët e ekuacionit.

$$x=\frac{1}{4} x=-\frac{6}{5}$$