Zgjidh 6x^2+7x-20=0

$$6 x ^ { 2 } + 7 x - 20 = 0$$

Gjej x

$$x = -\frac{5}{2} = -2\frac{1}{2} = -2.5$$

$$x = \frac{4}{3} = 1\frac{1}{3} \approx 1.333333333$$

Hapat që përdorin faktorizimin nëpërmjet grupimit

Për të zgjidhur ekuacionin, faktorizo anën e majtë nëpërmjet grupimit. Së pari, ana e majtë duhet të rishkruhet si 6x^{2}+ax+bx-20. Për të gjetur a dhe b, parametrizo një sistem për ta zgjidhur.

$$a+b=7 ab=6\left(-20\right)=-120$$

Meqenëse ab është negative, a dhe b kanë shenja të kundërta. Meqenëse a+b është pozitive, numri pozitiv ka vlerë absolute më të madhe se ai negativ. Listo të gjitha këto çifte numrash të plotë që japin prodhimin -120.

$$-1,120 -2,60 -3,40 -4,30 -5,24 -6,20 -8,15 -10,12$$

Llogarit shumën për çdo çift.

$$-1+120=119 -2+60=58 -3+40=37 -4+30=26 -5+24=19 -6+20=14 -8+15=7 -10+12=2$$

Zgjidhja është çifti që jep shumën 7.

$$a=-8 b=15$$

Rishkruaj 6x^{2}+7x-20 si \left(6x^{2}-8x\right)+\left(15x-20\right).

$$\left(6x^{2}-8x\right)+\left(15x-20\right)$$

Faktorizo 2x në grupin e parë dhe 5 në të dytin.

$$2x\left(3x-4\right)+5\left(3x-4\right)$$

Faktorizo pjesëtuesin e përbashkët 3x-4 duke përdorur vetinë e shpërndarjes.

$$\left(3x-4\right)\left(2x+5\right)$$

Për të gjetur zgjidhjet e ekuacionit, zgjidh 3x-4=0 dhe 2x+5=0.

$$x=\frac{4}{3} x=-\frac{5}{2}$$

Hapat që përdorin formulën e zgjidhjes së ekuacioneve të shkallës së dytë

Të gjitha ekuacionet e formës ax^{2}+bx+c=0 mund të zgjidhen duke përdorur formulën e zgjidhjes së ekuacioneve të shkallës së dytë: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula e zgjidhjes së ekuacioneve të shkallës së dytë jep dy zgjidhje, një kur ± është mbledhje dhe një kur është zbritje.

$$6x^{2}+7x-20=0$$

Ky ekuacion është në formën standarde: ax^{2}+bx+c=0. Zëvendëso a me 6, b me 7 dhe c me -20 në formulën e zgjidhjes së ekuacioneve të shkallës së dytë, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-7±\sqrt{7^{2}-4\times 6\left(-20\right)}}{2\times 6}$$

Ngri në fuqi të dytë 7.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49-4\times 6\left(-20\right)}}{2\times 6}$$

Shumëzo -4 herë 6.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49-24\left(-20\right)}}{2\times 6}$$

Shumëzo -24 herë -20.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49+480}}{2\times 6}$$

Mblidh 49 me 480.

$$x=\frac{-7±\sqrt{529}}{2\times 6}$$

Gjej rrënjën katrore të 529.

$$x=\frac{-7±23}{2\times 6}$$

Shumëzo 2 herë 6.

$$x=\frac{-7±23}{12}$$

Tani zgjidhe ekuacionin x=\frac{-7±23}{12} kur ± është plus. Mblidh -7 me 23.

$$x=\frac{16}{12}$$

Thjeshto thyesën \frac{16}{12} në kufizat më të vogla duke zbritur dhe thjeshtuar 4.

$$x=\frac{4}{3}$$

Tani zgjidhe ekuacionin x=\frac{-7±23}{12} kur ± është minus. Zbrit 23 nga -7.

$$x=-\frac{30}{12}$$

Thjeshto thyesën \frac{-30}{12} në kufizat më të vogla duke zbritur dhe thjeshtuar 6.

$$x=-\frac{5}{2}$$

Ekuacioni është zgjidhur tani.

$$x=\frac{4}{3} x=-\frac{5}{2}$$

Hapat për plotësimin e katrorit

Ekuacionet e shkallës së dytë si ky mund të zgjidhen duke plotësuar katrorin. Për të plotësuar katrorin, ekuacioni duhet të jetë në fillim në formën x^{2}+bx=c.

$$6x^{2}+7x-20=0$$

Mblidh 20 në të dyja anët e ekuacionit.

$$6x^{2}+7x-20-\left(-20\right)=-\left(-20\right)$$

Zbritja e -20 nga vetja e tij jep 0.

$$6x^{2}+7x=-\left(-20\right)$$

Zbrit -20 nga 0.

$$6x^{2}+7x=20$$

Pjesëto të dyja anët me 6.

$$\frac{6x^{2}+7x}{6}=\frac{20}{6}$$

Pjesëtimi me 6 zhbën shumëzimin me 6.

$$x^{2}+\frac{7}{6}x=\frac{20}{6}$$

Thjeshto thyesën \frac{20}{6} në kufizat më të vogla duke zbritur dhe thjeshtuar 2.

$$x^{2}+\frac{7}{6}x=\frac{10}{3}$$

Pjesëto \frac{7}{6}, koeficientin e kufizës x, me 2 për të marrë \frac{7}{12}. Më pas mblidh katrorin e \frac{7}{12} në të dyja anët e ekuacionit. Ky hap e bën anën e majtë të ekuacionit një katror të përsosur.

$$x^{2}+\frac{7}{6}x+\left(\frac{7}{12}\right)^{2}=\frac{10}{3}+\left(\frac{7}{12}\right)^{2}$$

Ngri në fuqi të dytë \frac{7}{12} duke ngritur në fuqi të dytë që të dy, numëruesin dhe emëruesin e thyesës.

$$x^{2}+\frac{7}{6}x+\frac{49}{144}=\frac{10}{3}+\frac{49}{144}$$

Mblidh \frac{10}{3} me \frac{49}{144} duke gjetur një emërues të përbashkët dhe duke mbledhur numëruesit. Pastaj zvogëlo thyesën në kufizat më të vogla nëse është e mundur.

$$x^{2}+\frac{7}{6}x+\frac{49}{144}=\frac{529}{144}$$

Faktori x^{2}+\frac{7}{6}x+\frac{49}{144}. Në përgjithësi, kur x^{2}+bx+c është një katror perfekt, mund të faktorizohet gjithmonë si \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{7}{12}\right)^{2}=\frac{529}{144}$$

Gjej rrënjën katrore të të dyja anëve të ekuacionit.

$$\sqrt{\left(x+\frac{7}{12}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{529}{144}}$$

Thjeshto.

$$x+\frac{7}{12}=\frac{23}{12} x+\frac{7}{12}=-\frac{23}{12}$$

Zbrit \frac{7}{12} nga të dyja anët e ekuacionit.

$$x=\frac{4}{3} x=-\frac{5}{2}$$