Zgjidh 6n^2+7n+2

$$6 n ^ { 2 } + 7 n + 2$$

Faktorizo

$$\left(2n+1\right)\left(3n+2\right)$$

Hapat e zgjidhjes

Faktorizo shprehjen nëpërmjet grupimit. Së pari, shprehja duhet të rishkruhet si 6n^{2}+an+bn+2. Për të gjetur a dhe b, parametrizo një sistem për ta zgjidhur.

$$a+b=7 ab=6\times 2=12$$

Meqenëse ab është pozitive, a dhe b kanë shenjë të njëjtë. Meqenëse a+b është pozitive, a dhe b janë të dyja pozitive. Listo të gjitha këto çifte numrash të plotë që japin prodhimin 12.

$$1,12 2,6 3,4$$

Llogarit shumën për çdo çift.

$$1+12=13 2+6=8 3+4=7$$

Zgjidhja është çifti që jep shumën 7.

$$a=3 b=4$$

Rishkruaj 6n^{2}+7n+2 si \left(6n^{2}+3n\right)+\left(4n+2\right).

$$\left(6n^{2}+3n\right)+\left(4n+2\right)$$

Faktorizo 3n në grupin e parë dhe 2 në të dytin.

$$3n\left(2n+1\right)+2\left(2n+1\right)$$

Faktorizo pjesëtuesin e përbashkët 2n+1 duke përdorur vetinë e shpërndarjes.

$$\left(2n+1\right)\left(3n+2\right)$$

Hapat që përdorin formulën e zgjidhjes së ekuacioneve të shkallës së dytë

Polinomi i shkallës së dytë mund të faktorizohet duke përdorur transformimin ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), ku x_{1} dhe x_{2} janë zgjidhjet e ekuacionit të shkallës së dytë ax^{2}+bx+c=0.

$$6n^{2}+7n+2=0$$

Të gjitha ekuacionet e formës ax^{2}+bx+c=0 mund të zgjidhen duke përdorur formulën e zgjidhjes së ekuacioneve të shkallës së dytë: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula e zgjidhjes së ekuacioneve të shkallës së dytë jep dy zgjidhje, një kur ± është mbledhje dhe një kur është zbritje.

$$n=\frac{-7±\sqrt{7^{2}-4\times 6\times 2}}{2\times 6}$$

Ngri në fuqi të dytë 7.

$$n=\frac{-7±\sqrt{49-4\times 6\times 2}}{2\times 6}$$

Shumëzo -4 herë 6.

$$n=\frac{-7±\sqrt{49-24\times 2}}{2\times 6}$$

Shumëzo -24 herë 2.

$$n=\frac{-7±\sqrt{49-48}}{2\times 6}$$

Mblidh 49 me -48.

$$n=\frac{-7±\sqrt{1}}{2\times 6}$$

Gjej rrënjën katrore të 1.

$$n=\frac{-7±1}{2\times 6}$$

Shumëzo 2 herë 6.

$$n=\frac{-7±1}{12}$$

Tani zgjidhe ekuacionin n=\frac{-7±1}{12} kur ± është plus. Mblidh -7 me 1.

$$n=-\frac{6}{12}$$

Thjeshto thyesën \frac{-6}{12} në kufizat më të vogla duke zbritur dhe thjeshtuar 6.

$$n=-\frac{1}{2}$$

Tani zgjidhe ekuacionin n=\frac{-7±1}{12} kur ± është minus. Zbrit 1 nga -7.

$$n=-\frac{8}{12}$$

Thjeshto thyesën \frac{-8}{12} në kufizat më të vogla duke zbritur dhe thjeshtuar 4.

$$n=-\frac{2}{3}$$

Faktorizo shprehjen origjinale duke përdorur ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Zëvendëso -\frac{1}{2} për x_{1} dhe -\frac{2}{3} për x_{2}.

$$6n^{2}+7n+2=6\left(n-\left(-\frac{1}{2}\right)\right)\left(n-\left(-\frac{2}{3}\right)\right)$$

Thjeshto të gjitha shprehjet e formës p-\left(-q\right) në p+q.

$$6n^{2}+7n+2=6\left(n+\frac{1}{2}\right)\left(n+\frac{2}{3}\right)$$

Mblidh \frac{1}{2} me n duke gjetur një emërues të përbashkët dhe duke mbledhur numëruesit. Pastaj zvogëlo thyesën në kufizat më të vogla nëse është e mundur.

$$6n^{2}+7n+2=6\times \frac{2n+1}{2}\left(n+\frac{2}{3}\right)$$

Mblidh \frac{2}{3} me n duke gjetur një emërues të përbashkët dhe duke mbledhur numëruesit. Pastaj zvogëlo thyesën në kufizat më të vogla nëse është e mundur.

$$6n^{2}+7n+2=6\times \frac{2n+1}{2}\times \frac{3n+2}{3}$$

Shumëzo \frac{2n+1}{2} herë \frac{3n+2}{3} duke shumëzuar numëruesin herë numëruesin dhe emëruesin herë emëruesin. Më pas thjeshtoje thyesën në kufizat më të vogla nëse është e mundur.

$$6n^{2}+7n+2=6\times \frac{\left(2n+1\right)\left(3n+2\right)}{2\times 3}$$

Shumëzo 2 herë 3.

$$6n^{2}+7n+2=6\times \frac{\left(2n+1\right)\left(3n+2\right)}{6}$$

Thjeshto faktorin më të madh të përbashkët 6 në 6 dhe 6.

$$6n^{2}+7n+2=\left(2n+1\right)\left(3n+2\right)$$

Vlerëso

$$\left(2n+1\right)\left(3n+2\right)$$