Zgjidh 6x^2-x-1

$$6 { x }^{ 2 } -x-1$$

Faktorizo

$$\left(2x-1\right)\left(3x+1\right)$$

Hapat e zgjidhjes

Faktorizo shprehjen nëpërmjet grupimit. Së pari, shprehja duhet të rishkruhet si 6x^{2}+ax+bx-1. Për të gjetur a dhe b, parametrizo një sistem për ta zgjidhur.

$$a+b=-1 ab=6\left(-1\right)=-6$$

Meqenëse ab është negative, a dhe b kanë shenja të kundërta. Meqenëse a+b është negative, numri negativ ka vlerë absolute më të madhe se ai pozitiv. Listo të gjitha këto çifte numrash të plotë që japin prodhimin -6.

$$1,-6 2,-3$$

Llogarit shumën për çdo çift.

$$1-6=-5 2-3=-1$$

Zgjidhja është çifti që jep shumën -1.

$$a=-3 b=2$$

Rishkruaj 6x^{2}-x-1 si \left(6x^{2}-3x\right)+\left(2x-1\right).

$$\left(6x^{2}-3x\right)+\left(2x-1\right)$$

Faktorizo 3x në 6x^{2}-3x.

$$3x\left(2x-1\right)+2x-1$$

Faktorizo pjesëtuesin e përbashkët 2x-1 duke përdorur vetinë e shpërndarjes.

$$\left(2x-1\right)\left(3x+1\right)$$

Hapat që përdorin formulën e zgjidhjes së ekuacioneve të shkallës së dytë

Polinomi i shkallës së dytë mund të faktorizohet duke përdorur transformimin ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), ku x_{1} dhe x_{2} janë zgjidhjet e ekuacionit të shkallës së dytë ax^{2}+bx+c=0.

$$6x^{2}-x-1=0$$

Të gjitha ekuacionet e formës ax^{2}+bx+c=0 mund të zgjidhen duke përdorur formulën e zgjidhjes së ekuacioneve të shkallës së dytë: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula e zgjidhjes së ekuacioneve të shkallës së dytë jep dy zgjidhje, një kur ± është mbledhje dhe një kur është zbritje.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-4\times 6\left(-1\right)}}{2\times 6}$$

Shumëzo -4 herë 6.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-24\left(-1\right)}}{2\times 6}$$

Shumëzo -24 herë -1.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1+24}}{2\times 6}$$

Mblidh 1 me 24.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{25}}{2\times 6}$$

Gjej rrënjën katrore të 25.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±5}{2\times 6}$$

E kundërta e -1 është 1.

$$x=\frac{1±5}{2\times 6}$$

Shumëzo 2 herë 6.

$$x=\frac{1±5}{12}$$

Tani zgjidhe ekuacionin x=\frac{1±5}{12} kur ± është plus. Mblidh 1 me 5.

$$x=\frac{6}{12}$$

Thjeshto thyesën \frac{6}{12} në kufizat më të vogla duke zbritur dhe thjeshtuar 6.

$$x=\frac{1}{2}$$

Tani zgjidhe ekuacionin x=\frac{1±5}{12} kur ± është minus. Zbrit 5 nga 1.

$$x=-\frac{4}{12}$$

Thjeshto thyesën \frac{-4}{12} në kufizat më të vogla duke zbritur dhe thjeshtuar 4.

$$x=-\frac{1}{3}$$

Faktorizo shprehjen origjinale duke përdorur ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Zëvendëso \frac{1}{2} për x_{1} dhe -\frac{1}{3} për x_{2}.

$$6x^{2}-x-1=6\left(x-\frac{1}{2}\right)\left(x-\left(-\frac{1}{3}\right)\right)$$

Thjeshto të gjitha shprehjet e formës p-\left(-q\right) në p+q.

$$6x^{2}-x-1=6\left(x-\frac{1}{2}\right)\left(x+\frac{1}{3}\right)$$

Zbrit \frac{1}{2} nga x duke gjetur një emërues të përbashkët dhe duke zbritur numëruesit. Më pas thjeshto thyesën në kufizat më të vogla nëse është e mundur.

$$6x^{2}-x-1=6\times \frac{2x-1}{2}\left(x+\frac{1}{3}\right)$$

Mblidh \frac{1}{3} me x duke gjetur një emërues të përbashkët dhe duke mbledhur numëruesit. Pastaj zvogëlo thyesën në kufizat më të vogla nëse është e mundur.

$$6x^{2}-x-1=6\times \frac{2x-1}{2}\times \frac{3x+1}{3}$$

Shumëzo \frac{2x-1}{2} herë \frac{3x+1}{3} duke shumëzuar numëruesin herë numëruesin dhe emëruesin herë emëruesin. Më pas thjeshtoje thyesën në kufizat më të vogla nëse është e mundur.

$$6x^{2}-x-1=6\times \frac{\left(2x-1\right)\left(3x+1\right)}{2\times 3}$$

Shumëzo 2 herë 3.

$$6x^{2}-x-1=6\times \frac{\left(2x-1\right)\left(3x+1\right)}{6}$$

Thjeshto faktorin më të madh të përbashkët 6 në 6 dhe 6.

$$6x^{2}-x-1=\left(2x-1\right)\left(3x+1\right)$$

Vlerëso

$$\left(2x-1\right)\left(3x+1\right)$$