Zgjidh 6x^2+7x-5=0

$$6 { x }^{ 2 } +7x-5 = 0$$

Gjej x

$$x = -\frac{5}{3} = -1\frac{2}{3} \approx -1.666666667$$

$$x=\frac{1}{2}=0.5$$

Hapat që përdorin faktorizimin nëpërmjet grupimit

Për të zgjidhur ekuacionin, faktorizo anën e majtë nëpërmjet grupimit. Së pari, ana e majtë duhet të rishkruhet si 6x^{2}+ax+bx-5. Për të gjetur a dhe b, parametrizo një sistem për ta zgjidhur.

$$a+b=7 ab=6\left(-5\right)=-30$$

Meqenëse ab është negative, a dhe b kanë shenja të kundërta. Meqenëse a+b është pozitive, numri pozitiv ka vlerë absolute më të madhe se ai negativ. Listo të gjitha këto çifte numrash të plotë që japin prodhimin -30.

$$-1,30 -2,15 -3,10 -5,6$$

Llogarit shumën për çdo çift.

$$-1+30=29 -2+15=13 -3+10=7 -5+6=1$$

Zgjidhja është çifti që jep shumën 7.

$$a=-3 b=10$$

Rishkruaj 6x^{2}+7x-5 si \left(6x^{2}-3x\right)+\left(10x-5\right).

$$\left(6x^{2}-3x\right)+\left(10x-5\right)$$

Faktorizo 3x në grupin e parë dhe 5 në të dytin.

$$3x\left(2x-1\right)+5\left(2x-1\right)$$

Faktorizo pjesëtuesin e përbashkët 2x-1 duke përdorur vetinë e shpërndarjes.

$$\left(2x-1\right)\left(3x+5\right)$$

Për të gjetur zgjidhjet e ekuacionit, zgjidh 2x-1=0 dhe 3x+5=0.

$$x=\frac{1}{2} x=-\frac{5}{3}$$

Hapat që përdorin formulën e zgjidhjes së ekuacioneve të shkallës së dytë

Të gjitha ekuacionet e formës ax^{2}+bx+c=0 mund të zgjidhen duke përdorur formulën e zgjidhjes së ekuacioneve të shkallës së dytë: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula e zgjidhjes së ekuacioneve të shkallës së dytë jep dy zgjidhje, një kur ± është mbledhje dhe një kur është zbritje.

$$6x^{2}+7x-5=0$$

Ky ekuacion është në formën standarde: ax^{2}+bx+c=0. Zëvendëso a me 6, b me 7 dhe c me -5 në formulën e zgjidhjes së ekuacioneve të shkallës së dytë, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-7±\sqrt{7^{2}-4\times 6\left(-5\right)}}{2\times 6}$$

Ngri në fuqi të dytë 7.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49-4\times 6\left(-5\right)}}{2\times 6}$$

Shumëzo -4 herë 6.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49-24\left(-5\right)}}{2\times 6}$$

Shumëzo -24 herë -5.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49+120}}{2\times 6}$$

Mblidh 49 me 120.

$$x=\frac{-7±\sqrt{169}}{2\times 6}$$

Gjej rrënjën katrore të 169.

$$x=\frac{-7±13}{2\times 6}$$

Shumëzo 2 herë 6.

$$x=\frac{-7±13}{12}$$

Tani zgjidhe ekuacionin x=\frac{-7±13}{12} kur ± është plus. Mblidh -7 me 13.

$$x=\frac{6}{12}$$

Thjeshto thyesën \frac{6}{12} në kufizat më të vogla duke zbritur dhe thjeshtuar 6.

$$x=\frac{1}{2}$$

Tani zgjidhe ekuacionin x=\frac{-7±13}{12} kur ± është minus. Zbrit 13 nga -7.

$$x=-\frac{20}{12}$$

Thjeshto thyesën \frac{-20}{12} në kufizat më të vogla duke zbritur dhe thjeshtuar 4.

$$x=-\frac{5}{3}$$

Ekuacioni është zgjidhur tani.

$$x=\frac{1}{2} x=-\frac{5}{3}$$

Hapat për plotësimin e katrorit

Ekuacionet e shkallës së dytë si ky mund të zgjidhen duke plotësuar katrorin. Për të plotësuar katrorin, ekuacioni duhet të jetë në fillim në formën x^{2}+bx=c.

$$6x^{2}+7x-5=0$$

Mblidh 5 në të dyja anët e ekuacionit.

$$6x^{2}+7x-5-\left(-5\right)=-\left(-5\right)$$

Zbritja e -5 nga vetja e tij jep 0.

$$6x^{2}+7x=-\left(-5\right)$$

Zbrit -5 nga 0.

$$6x^{2}+7x=5$$

Pjesëto të dyja anët me 6.

$$\frac{6x^{2}+7x}{6}=\frac{5}{6}$$

Pjesëtimi me 6 zhbën shumëzimin me 6.

$$x^{2}+\frac{7}{6}x=\frac{5}{6}$$

Pjesëto \frac{7}{6}, koeficientin e kufizës x, me 2 për të marrë \frac{7}{12}. Më pas mblidh katrorin e \frac{7}{12} në të dyja anët e ekuacionit. Ky hap e bën anën e majtë të ekuacionit një katror të përsosur.

$$x^{2}+\frac{7}{6}x+\left(\frac{7}{12}\right)^{2}=\frac{5}{6}+\left(\frac{7}{12}\right)^{2}$$

Ngri në fuqi të dytë \frac{7}{12} duke ngritur në fuqi të dytë që të dy, numëruesin dhe emëruesin e thyesës.

$$x^{2}+\frac{7}{6}x+\frac{49}{144}=\frac{5}{6}+\frac{49}{144}$$

Mblidh \frac{5}{6} me \frac{49}{144} duke gjetur një emërues të përbashkët dhe duke mbledhur numëruesit. Pastaj zvogëlo thyesën në kufizat më të vogla nëse është e mundur.

$$x^{2}+\frac{7}{6}x+\frac{49}{144}=\frac{169}{144}$$

Faktori x^{2}+\frac{7}{6}x+\frac{49}{144}. Në përgjithësi, kur x^{2}+bx+c është një katror perfekt, mund të faktorizohet gjithmonë si \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{7}{12}\right)^{2}=\frac{169}{144}$$

Gjej rrënjën katrore të të dyja anëve të ekuacionit.

$$\sqrt{\left(x+\frac{7}{12}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{169}{144}}$$

Thjeshto.

$$x+\frac{7}{12}=\frac{13}{12} x+\frac{7}{12}=-\frac{13}{12}$$

Zbrit \frac{7}{12} nga të dyja anët e ekuacionit.

$$x=\frac{1}{2} x=-\frac{5}{3}$$