Zgjidh 6x^2+11x+3=0

$$6 { x }^{ 2 } +11x+3=0$$

Gjej x

$$x = -\frac{3}{2} = -1\frac{1}{2} = -1.5$$

$$x=-\frac{1}{3}\approx -0.333333333$$

Hapat që përdorin faktorizimin nëpërmjet grupimit

Për të zgjidhur ekuacionin, faktorizo anën e majtë nëpërmjet grupimit. Së pari, ana e majtë duhet të rishkruhet si 6x^{2}+ax+bx+3. Për të gjetur a dhe b, parametrizo një sistem për ta zgjidhur.

$$a+b=11 ab=6\times 3=18$$

Meqenëse ab është pozitive, a dhe b kanë shenjë të njëjtë. Meqenëse a+b është pozitive, a dhe b janë të dyja pozitive. Listo të gjitha këto çifte numrash të plotë që japin prodhimin 18.

$$1,18 2,9 3,6$$

Llogarit shumën për çdo çift.

$$1+18=19 2+9=11 3+6=9$$

Zgjidhja është çifti që jep shumën 11.

$$a=2 b=9$$

Rishkruaj 6x^{2}+11x+3 si \left(6x^{2}+2x\right)+\left(9x+3\right).

$$\left(6x^{2}+2x\right)+\left(9x+3\right)$$

Faktorizo 2x në grupin e parë dhe 3 në të dytin.

$$2x\left(3x+1\right)+3\left(3x+1\right)$$

Faktorizo pjesëtuesin e përbashkët 3x+1 duke përdorur vetinë e shpërndarjes.

$$\left(3x+1\right)\left(2x+3\right)$$

Për të gjetur zgjidhjet e ekuacionit, zgjidh 3x+1=0 dhe 2x+3=0.

$$x=-\frac{1}{3} x=-\frac{3}{2}$$

Hapat që përdorin formulën e zgjidhjes së ekuacioneve të shkallës së dytë

Të gjitha ekuacionet e formës ax^{2}+bx+c=0 mund të zgjidhen duke përdorur formulën e zgjidhjes së ekuacioneve të shkallës së dytë: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula e zgjidhjes së ekuacioneve të shkallës së dytë jep dy zgjidhje, një kur ± është mbledhje dhe një kur është zbritje.

$$6x^{2}+11x+3=0$$

Ky ekuacion është në formën standarde: ax^{2}+bx+c=0. Zëvendëso a me 6, b me 11 dhe c me 3 në formulën e zgjidhjes së ekuacioneve të shkallës së dytë, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-11±\sqrt{11^{2}-4\times 6\times 3}}{2\times 6}$$

Ngri në fuqi të dytë 11.

$$x=\frac{-11±\sqrt{121-4\times 6\times 3}}{2\times 6}$$

Shumëzo -4 herë 6.

$$x=\frac{-11±\sqrt{121-24\times 3}}{2\times 6}$$

Shumëzo -24 herë 3.

$$x=\frac{-11±\sqrt{121-72}}{2\times 6}$$

Mblidh 121 me -72.

$$x=\frac{-11±\sqrt{49}}{2\times 6}$$

Gjej rrënjën katrore të 49.

$$x=\frac{-11±7}{2\times 6}$$

Shumëzo 2 herë 6.

$$x=\frac{-11±7}{12}$$

Tani zgjidhe ekuacionin x=\frac{-11±7}{12} kur ± është plus. Mblidh -11 me 7.

$$x=-\frac{4}{12}$$

Thjeshto thyesën \frac{-4}{12} në kufizat më të vogla duke zbritur dhe thjeshtuar 4.

$$x=-\frac{1}{3}$$

Tani zgjidhe ekuacionin x=\frac{-11±7}{12} kur ± është minus. Zbrit 7 nga -11.

$$x=-\frac{18}{12}$$

Thjeshto thyesën \frac{-18}{12} në kufizat më të vogla duke zbritur dhe thjeshtuar 6.

$$x=-\frac{3}{2}$$

Ekuacioni është zgjidhur tani.

$$x=-\frac{1}{3} x=-\frac{3}{2}$$

Hapat për plotësimin e katrorit

Ekuacionet e shkallës së dytë si ky mund të zgjidhen duke plotësuar katrorin. Për të plotësuar katrorin, ekuacioni duhet të jetë në fillim në formën x^{2}+bx=c.

$$6x^{2}+11x+3=0$$

Zbrit 3 nga të dyja anët e ekuacionit.

$$6x^{2}+11x+3-3=-3$$

Zbritja e 3 nga vetja e tij jep 0.

$$6x^{2}+11x=-3$$

Pjesëto të dyja anët me 6.

$$\frac{6x^{2}+11x}{6}=-\frac{3}{6}$$

Pjesëtimi me 6 zhbën shumëzimin me 6.

$$x^{2}+\frac{11}{6}x=-\frac{3}{6}$$

Thjeshto thyesën \frac{-3}{6} në kufizat më të vogla duke zbritur dhe thjeshtuar 3.

$$x^{2}+\frac{11}{6}x=-\frac{1}{2}$$

Pjesëto \frac{11}{6}, koeficientin e kufizës x, me 2 për të marrë \frac{11}{12}. Më pas mblidh katrorin e \frac{11}{12} në të dyja anët e ekuacionit. Ky hap e bën anën e majtë të ekuacionit një katror të përsosur.

$$x^{2}+\frac{11}{6}x+\left(\frac{11}{12}\right)^{2}=-\frac{1}{2}+\left(\frac{11}{12}\right)^{2}$$

Ngri në fuqi të dytë \frac{11}{12} duke ngritur në fuqi të dytë që të dy, numëruesin dhe emëruesin e thyesës.

$$x^{2}+\frac{11}{6}x+\frac{121}{144}=-\frac{1}{2}+\frac{121}{144}$$

Mblidh -\frac{1}{2} me \frac{121}{144} duke gjetur një emërues të përbashkët dhe duke mbledhur numëruesit. Pastaj zvogëlo thyesën në kufizat më të vogla nëse është e mundur.

$$x^{2}+\frac{11}{6}x+\frac{121}{144}=\frac{49}{144}$$

Faktori x^{2}+\frac{11}{6}x+\frac{121}{144}. Në përgjithësi, kur x^{2}+bx+c është një katror perfekt, mund të faktorizohet gjithmonë si \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{11}{12}\right)^{2}=\frac{49}{144}$$

Gjej rrënjën katrore të të dyja anëve të ekuacionit.

$$\sqrt{\left(x+\frac{11}{12}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{144}}$$

Thjeshto.

$$x+\frac{11}{12}=\frac{7}{12} x+\frac{11}{12}=-\frac{7}{12}$$

Zbrit \frac{11}{12} nga të dyja anët e ekuacionit.

$$x=-\frac{1}{3} x=-\frac{3}{2}$$