Zgjidh 52z^2-43z+3

$$52 z ^ { 2 } - 43 z + 3$$

Faktorizo

$$\left(4z-3\right)\left(13z-1\right)$$

Hapat e zgjidhjes

Faktorizo shprehjen nëpërmjet grupimit. Së pari, shprehja duhet të rishkruhet si 52z^{2}+az+bz+3. Për të gjetur a dhe b, parametrizo një sistem për ta zgjidhur.

$$a+b=-43 ab=52\times 3=156$$

Meqenëse ab është pozitive, a dhe b kanë shenjë të njëjtë. Meqenëse a+b është negative, a dhe b janë të dyja negative. Listo të gjitha këto çifte numrash të plotë që japin prodhimin 156.

$$-1,-156 -2,-78 -3,-52 -4,-39 -6,-26 -12,-13$$

Llogarit shumën për çdo çift.

$$-1-156=-157 -2-78=-80 -3-52=-55 -4-39=-43 -6-26=-32 -12-13=-25$$

Zgjidhja është çifti që jep shumën -43.

$$a=-39 b=-4$$

Rishkruaj 52z^{2}-43z+3 si \left(52z^{2}-39z\right)+\left(-4z+3\right).

$$\left(52z^{2}-39z\right)+\left(-4z+3\right)$$

Faktorizo 13z në grupin e parë dhe -1 në të dytin.

$$13z\left(4z-3\right)-\left(4z-3\right)$$

Faktorizo pjesëtuesin e përbashkët 4z-3 duke përdorur vetinë e shpërndarjes.

$$\left(4z-3\right)\left(13z-1\right)$$

Hapat që përdorin formulën e zgjidhjes së ekuacioneve të shkallës së dytë

Polinomi i shkallës së dytë mund të faktorizohet duke përdorur transformimin ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), ku x_{1} dhe x_{2} janë zgjidhjet e ekuacionit të shkallës së dytë ax^{2}+bx+c=0.

$$52z^{2}-43z+3=0$$

Të gjitha ekuacionet e formës ax^{2}+bx+c=0 mund të zgjidhen duke përdorur formulën e zgjidhjes së ekuacioneve të shkallës së dytë: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula e zgjidhjes së ekuacioneve të shkallës së dytë jep dy zgjidhje, një kur ± është mbledhje dhe një kur është zbritje.

$$z=\frac{-\left(-43\right)±\sqrt{\left(-43\right)^{2}-4\times 52\times 3}}{2\times 52}$$

Ngri në fuqi të dytë -43.

$$z=\frac{-\left(-43\right)±\sqrt{1849-4\times 52\times 3}}{2\times 52}$$

Shumëzo -4 herë 52.

$$z=\frac{-\left(-43\right)±\sqrt{1849-208\times 3}}{2\times 52}$$

Shumëzo -208 herë 3.

$$z=\frac{-\left(-43\right)±\sqrt{1849-624}}{2\times 52}$$

Mblidh 1849 me -624.

$$z=\frac{-\left(-43\right)±\sqrt{1225}}{2\times 52}$$

Gjej rrënjën katrore të 1225.

$$z=\frac{-\left(-43\right)±35}{2\times 52}$$

E kundërta e -43 është 43.

$$z=\frac{43±35}{2\times 52}$$

Shumëzo 2 herë 52.

$$z=\frac{43±35}{104}$$

Tani zgjidhe ekuacionin z=\frac{43±35}{104} kur ± është plus. Mblidh 43 me 35.

$$z=\frac{78}{104}$$

Thjeshto thyesën \frac{78}{104} në kufizat më të vogla duke zbritur dhe thjeshtuar 26.

$$z=\frac{3}{4}$$

Tani zgjidhe ekuacionin z=\frac{43±35}{104} kur ± është minus. Zbrit 35 nga 43.

$$z=\frac{8}{104}$$

Thjeshto thyesën \frac{8}{104} në kufizat më të vogla duke zbritur dhe thjeshtuar 8.

$$z=\frac{1}{13}$$

Faktorizo shprehjen origjinale duke përdorur ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Zëvendëso \frac{3}{4} për x_{1} dhe \frac{1}{13} për x_{2}.

$$52z^{2}-43z+3=52\left(z-\frac{3}{4}\right)\left(z-\frac{1}{13}\right)$$

Zbrit \frac{3}{4} nga z duke gjetur një emërues të përbashkët dhe duke zbritur numëruesit. Më pas thjeshto thyesën në kufizat më të vogla nëse është e mundur.

$$52z^{2}-43z+3=52\times \frac{4z-3}{4}\left(z-\frac{1}{13}\right)$$

Zbrit \frac{1}{13} nga z duke gjetur një emërues të përbashkët dhe duke zbritur numëruesit. Më pas thjeshto thyesën në kufizat më të vogla nëse është e mundur.

$$52z^{2}-43z+3=52\times \frac{4z-3}{4}\times \frac{13z-1}{13}$$

Shumëzo \frac{4z-3}{4} herë \frac{13z-1}{13} duke shumëzuar numëruesin herë numëruesin dhe emëruesin herë emëruesin. Më pas thjeshtoje thyesën në kufizat më të vogla nëse është e mundur.

$$52z^{2}-43z+3=52\times \frac{\left(4z-3\right)\left(13z-1\right)}{4\times 13}$$

Shumëzo 4 herë 13.

$$52z^{2}-43z+3=52\times \frac{\left(4z-3\right)\left(13z-1\right)}{52}$$

Thjeshto faktorin më të madh të përbashkët 52 në 52 dhe 52.

$$52z^{2}-43z+3=\left(4z-3\right)\left(13z-1\right)$$

Vlerëso

$$\left(4z-3\right)\left(13z-1\right)$$