Zgjidh 5y^2-9y-18

$$5 y ^ { 2 } - 9 y - 18$$

Faktorizo

$$\left(y-3\right)\left(5y+6\right)$$

Hapat e zgjidhjes

Faktorizo shprehjen nëpërmjet grupimit. Së pari, shprehja duhet të rishkruhet si 5y^{2}+ay+by-18. Për të gjetur a dhe b, parametrizo një sistem për ta zgjidhur.

$$a+b=-9 ab=5\left(-18\right)=-90$$

Meqenëse ab është negative, a dhe b kanë shenja të kundërta. Meqenëse a+b është negative, numri negativ ka vlerë absolute më të madhe se ai pozitiv. Listo të gjitha këto çifte numrash të plotë që japin prodhimin -90.

$$1,-90 2,-45 3,-30 5,-18 6,-15 9,-10$$

Llogarit shumën për çdo çift.

$$1-90=-89 2-45=-43 3-30=-27 5-18=-13 6-15=-9 9-10=-1$$

Zgjidhja është çifti që jep shumën -9.

$$a=-15 b=6$$

Rishkruaj 5y^{2}-9y-18 si \left(5y^{2}-15y\right)+\left(6y-18\right).

$$\left(5y^{2}-15y\right)+\left(6y-18\right)$$

Faktorizo 5y në grupin e parë dhe 6 në të dytin.

$$5y\left(y-3\right)+6\left(y-3\right)$$

Faktorizo pjesëtuesin e përbashkët y-3 duke përdorur vetinë e shpërndarjes.

$$\left(y-3\right)\left(5y+6\right)$$

Hapat që përdorin formulën e zgjidhjes së ekuacioneve të shkallës së dytë

Polinomi i shkallës së dytë mund të faktorizohet duke përdorur transformimin ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), ku x_{1} dhe x_{2} janë zgjidhjet e ekuacionit të shkallës së dytë ax^{2}+bx+c=0.

$$5y^{2}-9y-18=0$$

Të gjitha ekuacionet e formës ax^{2}+bx+c=0 mund të zgjidhen duke përdorur formulën e zgjidhjes së ekuacioneve të shkallës së dytë: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula e zgjidhjes së ekuacioneve të shkallës së dytë jep dy zgjidhje, një kur ± është mbledhje dhe një kur është zbritje.

$$y=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{\left(-9\right)^{2}-4\times 5\left(-18\right)}}{2\times 5}$$

Ngri në fuqi të dytë -9.

$$y=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{81-4\times 5\left(-18\right)}}{2\times 5}$$

Shumëzo -4 herë 5.

$$y=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{81-20\left(-18\right)}}{2\times 5}$$

Shumëzo -20 herë -18.

$$y=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{81+360}}{2\times 5}$$

Mblidh 81 me 360.

$$y=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{441}}{2\times 5}$$

Gjej rrënjën katrore të 441.

$$y=\frac{-\left(-9\right)±21}{2\times 5}$$

E kundërta e -9 është 9.

$$y=\frac{9±21}{2\times 5}$$

Shumëzo 2 herë 5.

$$y=\frac{9±21}{10}$$

Tani zgjidhe ekuacionin y=\frac{9±21}{10} kur ± është plus. Mblidh 9 me 21.

$$y=\frac{30}{10}$$

Pjesëto 30 me 10.

$$y=3$$

Tani zgjidhe ekuacionin y=\frac{9±21}{10} kur ± është minus. Zbrit 21 nga 9.

$$y=-\frac{12}{10}$$

Thjeshto thyesën \frac{-12}{10} në kufizat më të vogla duke zbritur dhe thjeshtuar 2.

$$y=-\frac{6}{5}$$

Faktorizo shprehjen origjinale duke përdorur ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Zëvendëso 3 për x_{1} dhe -\frac{6}{5} për x_{2}.

$$5y^{2}-9y-18=5\left(y-3\right)\left(y-\left(-\frac{6}{5}\right)\right)$$

Thjeshto të gjitha shprehjet e formës p-\left(-q\right) në p+q.

$$5y^{2}-9y-18=5\left(y-3\right)\left(y+\frac{6}{5}\right)$$

Mblidh \frac{6}{5} me y duke gjetur një emërues të përbashkët dhe duke mbledhur numëruesit. Pastaj zvogëlo thyesën në kufizat më të vogla nëse është e mundur.

$$5y^{2}-9y-18=5\left(y-3\right)\times \frac{5y+6}{5}$$

Thjeshto faktorin më të madh të përbashkët 5 në 5 dhe 5.

$$5y^{2}-9y-18=\left(y-3\right)\left(5y+6\right)$$

Vlerëso

$$\left(y-3\right)\left(5y+6\right)$$