Zgjidh 5y^2+27y+10

$$5 y ^ { 2 } + 27 y + 10$$

Faktorizo

$$\left(y+5\right)\left(5y+2\right)$$

Hapat e zgjidhjes

Faktorizo shprehjen nëpërmjet grupimit. Së pari, shprehja duhet të rishkruhet si 5y^{2}+ay+by+10. Për të gjetur a dhe b, parametrizo një sistem për ta zgjidhur.

$$a+b=27 ab=5\times 10=50$$

Meqenëse ab është pozitive, a dhe b kanë shenjë të njëjtë. Meqenëse a+b është pozitive, a dhe b janë të dyja pozitive. Listo të gjitha këto çifte numrash të plotë që japin prodhimin 50.

$$1,50 2,25 5,10$$

Llogarit shumën për çdo çift.

$$1+50=51 2+25=27 5+10=15$$

Zgjidhja është çifti që jep shumën 27.

$$a=2 b=25$$

Rishkruaj 5y^{2}+27y+10 si \left(5y^{2}+2y\right)+\left(25y+10\right).

$$\left(5y^{2}+2y\right)+\left(25y+10\right)$$

Faktorizo y në grupin e parë dhe 5 në të dytin.

$$y\left(5y+2\right)+5\left(5y+2\right)$$

Faktorizo pjesëtuesin e përbashkët 5y+2 duke përdorur vetinë e shpërndarjes.

$$\left(5y+2\right)\left(y+5\right)$$

Hapat që përdorin formulën e zgjidhjes së ekuacioneve të shkallës së dytë

Polinomi i shkallës së dytë mund të faktorizohet duke përdorur transformimin ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), ku x_{1} dhe x_{2} janë zgjidhjet e ekuacionit të shkallës së dytë ax^{2}+bx+c=0.

$$5y^{2}+27y+10=0$$

Të gjitha ekuacionet e formës ax^{2}+bx+c=0 mund të zgjidhen duke përdorur formulën e zgjidhjes së ekuacioneve të shkallës së dytë: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula e zgjidhjes së ekuacioneve të shkallës së dytë jep dy zgjidhje, një kur ± është mbledhje dhe një kur është zbritje.

$$y=\frac{-27±\sqrt{27^{2}-4\times 5\times 10}}{2\times 5}$$

Ngri në fuqi të dytë 27.

$$y=\frac{-27±\sqrt{729-4\times 5\times 10}}{2\times 5}$$

Shumëzo -4 herë 5.

$$y=\frac{-27±\sqrt{729-20\times 10}}{2\times 5}$$

Shumëzo -20 herë 10.

$$y=\frac{-27±\sqrt{729-200}}{2\times 5}$$

Mblidh 729 me -200.

$$y=\frac{-27±\sqrt{529}}{2\times 5}$$

Gjej rrënjën katrore të 529.

$$y=\frac{-27±23}{2\times 5}$$

Shumëzo 2 herë 5.

$$y=\frac{-27±23}{10}$$

Tani zgjidhe ekuacionin y=\frac{-27±23}{10} kur ± është plus. Mblidh -27 me 23.

$$y=-\frac{4}{10}$$

Thjeshto thyesën \frac{-4}{10} në kufizat më të vogla duke zbritur dhe thjeshtuar 2.

$$y=-\frac{2}{5}$$

Tani zgjidhe ekuacionin y=\frac{-27±23}{10} kur ± është minus. Zbrit 23 nga -27.

$$y=-\frac{50}{10}$$

Pjesëto -50 me 10.

$$y=-5$$

Faktorizo shprehjen origjinale duke përdorur ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Zëvendëso -\frac{2}{5} për x_{1} dhe -5 për x_{2}.

$$5y^{2}+27y+10=5\left(y-\left(-\frac{2}{5}\right)\right)\left(y-\left(-5\right)\right)$$

Thjeshto të gjitha shprehjet e formës p-\left(-q\right) në p+q.

$$5y^{2}+27y+10=5\left(y+\frac{2}{5}\right)\left(y+5\right)$$

Mblidh \frac{2}{5} me y duke gjetur një emërues të përbashkët dhe duke mbledhur numëruesit. Pastaj zvogëlo thyesën në kufizat më të vogla nëse është e mundur.

$$5y^{2}+27y+10=5\times \frac{5y+2}{5}\left(y+5\right)$$

Thjeshto faktorin më të madh të përbashkët 5 në 5 dhe 5.

$$5y^{2}+27y+10=\left(5y+2\right)\left(y+5\right)$$

Vlerëso

$$\left(y+5\right)\left(5y+2\right)$$