Zgjidh 5y^2+23y+12

$$5 y ^ { 2 } + 23 y + 12$$

Faktorizo

$$\left(y+4\right)\left(5y+3\right)$$

Hapat e zgjidhjes

Faktorizo shprehjen nëpërmjet grupimit. Së pari, shprehja duhet të rishkruhet si 5y^{2}+ay+by+12. Për të gjetur a dhe b, parametrizo një sistem për ta zgjidhur.

$$a+b=23 ab=5\times 12=60$$

Meqenëse ab është pozitive, a dhe b kanë shenjë të njëjtë. Meqenëse a+b është pozitive, a dhe b janë të dyja pozitive. Listo të gjitha këto çifte numrash të plotë që japin prodhimin 60.

$$1,60 2,30 3,20 4,15 5,12 6,10$$

Llogarit shumën për çdo çift.

$$1+60=61 2+30=32 3+20=23 4+15=19 5+12=17 6+10=16$$

Zgjidhja është çifti që jep shumën 23.

$$a=3 b=20$$

Rishkruaj 5y^{2}+23y+12 si \left(5y^{2}+3y\right)+\left(20y+12\right).

$$\left(5y^{2}+3y\right)+\left(20y+12\right)$$

Faktorizo y në grupin e parë dhe 4 në të dytin.

$$y\left(5y+3\right)+4\left(5y+3\right)$$

Faktorizo pjesëtuesin e përbashkët 5y+3 duke përdorur vetinë e shpërndarjes.

$$\left(5y+3\right)\left(y+4\right)$$

Hapat që përdorin formulën e zgjidhjes së ekuacioneve të shkallës së dytë

Polinomi i shkallës së dytë mund të faktorizohet duke përdorur transformimin ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), ku x_{1} dhe x_{2} janë zgjidhjet e ekuacionit të shkallës së dytë ax^{2}+bx+c=0.

$$5y^{2}+23y+12=0$$

Të gjitha ekuacionet e formës ax^{2}+bx+c=0 mund të zgjidhen duke përdorur formulën e zgjidhjes së ekuacioneve të shkallës së dytë: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula e zgjidhjes së ekuacioneve të shkallës së dytë jep dy zgjidhje, një kur ± është mbledhje dhe një kur është zbritje.

$$y=\frac{-23±\sqrt{23^{2}-4\times 5\times 12}}{2\times 5}$$

Ngri në fuqi të dytë 23.

$$y=\frac{-23±\sqrt{529-4\times 5\times 12}}{2\times 5}$$

Shumëzo -4 herë 5.

$$y=\frac{-23±\sqrt{529-20\times 12}}{2\times 5}$$

Shumëzo -20 herë 12.

$$y=\frac{-23±\sqrt{529-240}}{2\times 5}$$

Mblidh 529 me -240.

$$y=\frac{-23±\sqrt{289}}{2\times 5}$$

Gjej rrënjën katrore të 289.

$$y=\frac{-23±17}{2\times 5}$$

Shumëzo 2 herë 5.

$$y=\frac{-23±17}{10}$$

Tani zgjidhe ekuacionin y=\frac{-23±17}{10} kur ± është plus. Mblidh -23 me 17.

$$y=-\frac{6}{10}$$

Thjeshto thyesën \frac{-6}{10} në kufizat më të vogla duke zbritur dhe thjeshtuar 2.

$$y=-\frac{3}{5}$$

Tani zgjidhe ekuacionin y=\frac{-23±17}{10} kur ± është minus. Zbrit 17 nga -23.

$$y=-\frac{40}{10}$$

Pjesëto -40 me 10.

$$y=-4$$

Faktorizo shprehjen origjinale duke përdorur ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Zëvendëso -\frac{3}{5} për x_{1} dhe -4 për x_{2}.

$$5y^{2}+23y+12=5\left(y-\left(-\frac{3}{5}\right)\right)\left(y-\left(-4\right)\right)$$

Thjeshto të gjitha shprehjet e formës p-\left(-q\right) në p+q.

$$5y^{2}+23y+12=5\left(y+\frac{3}{5}\right)\left(y+4\right)$$

Mblidh \frac{3}{5} me y duke gjetur një emërues të përbashkët dhe duke mbledhur numëruesit. Pastaj zvogëlo thyesën në kufizat më të vogla nëse është e mundur.

$$5y^{2}+23y+12=5\times \frac{5y+3}{5}\left(y+4\right)$$

Thjeshto faktorin më të madh të përbashkët 5 në 5 dhe 5.

$$5y^{2}+23y+12=\left(5y+3\right)\left(y+4\right)$$

Vlerëso

$$\left(y+4\right)\left(5y+3\right)$$