Zgjidh 5x^2-7x=24

$$5 x ^ { 2 } - 7 x = 24$$

Gjej x

$$x = -\frac{8}{5} = -1\frac{3}{5} = -1.6$$

$$x=3$$

Hapat që përdorin faktorizimin nëpërmjet grupimit

Zbrit 24 nga të dyja anët.

$$5x^{2}-7x-24=0$$

Për të zgjidhur ekuacionin, faktorizo anën e majtë nëpërmjet grupimit. Së pari, ana e majtë duhet të rishkruhet si 5x^{2}+ax+bx-24. Për të gjetur a dhe b, parametrizo një sistem për ta zgjidhur.

$$a+b=-7 ab=5\left(-24\right)=-120$$

Meqenëse ab është negative, a dhe b kanë shenja të kundërta. Meqenëse a+b është negative, numri negativ ka vlerë absolute më të madhe se ai pozitiv. Listo të gjitha këto çifte numrash të plotë që japin prodhimin -120.

$$1,-120 2,-60 3,-40 4,-30 5,-24 6,-20 8,-15 10,-12$$

Llogarit shumën për çdo çift.

$$1-120=-119 2-60=-58 3-40=-37 4-30=-26 5-24=-19 6-20=-14 8-15=-7 10-12=-2$$

Zgjidhja është çifti që jep shumën -7.

$$a=-15 b=8$$

Rishkruaj 5x^{2}-7x-24 si \left(5x^{2}-15x\right)+\left(8x-24\right).

$$\left(5x^{2}-15x\right)+\left(8x-24\right)$$

Faktorizo 5x në grupin e parë dhe 8 në të dytin.

$$5x\left(x-3\right)+8\left(x-3\right)$$

Faktorizo pjesëtuesin e përbashkët x-3 duke përdorur vetinë e shpërndarjes.

$$\left(x-3\right)\left(5x+8\right)$$

Për të gjetur zgjidhjet e ekuacionit, zgjidh x-3=0 dhe 5x+8=0.

$$x=3 x=-\frac{8}{5}$$

Hapat që përdorin formulën e zgjidhjes së ekuacioneve të shkallës së dytë

Të gjitha ekuacionet e formës ax^{2}+bx+c=0 mund të zgjidhen duke përdorur formulën e zgjidhjes së ekuacioneve të shkallës së dytë: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula e zgjidhjes së ekuacioneve të shkallës së dytë jep dy zgjidhje, një kur ± është mbledhje dhe një kur është zbritje.

$$5x^{2}-7x=24$$

Zbrit 24 nga të dyja anët e ekuacionit.

$$5x^{2}-7x-24=24-24$$

Zbritja e 24 nga vetja e tij jep 0.

$$5x^{2}-7x-24=0$$

Ky ekuacion është në formën standarde: ax^{2}+bx+c=0. Zëvendëso a me 5, b me -7 dhe c me -24 në formulën e zgjidhjes së ekuacioneve të shkallës së dytë, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{\left(-7\right)^{2}-4\times 5\left(-24\right)}}{2\times 5}$$

Ngri në fuqi të dytë -7.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-4\times 5\left(-24\right)}}{2\times 5}$$

Shumëzo -4 herë 5.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-20\left(-24\right)}}{2\times 5}$$

Shumëzo -20 herë -24.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49+480}}{2\times 5}$$

Mblidh 49 me 480.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{529}}{2\times 5}$$

Gjej rrënjën katrore të 529.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±23}{2\times 5}$$

E kundërta e -7 është 7.

$$x=\frac{7±23}{2\times 5}$$

Shumëzo 2 herë 5.

$$x=\frac{7±23}{10}$$

Tani zgjidhe ekuacionin x=\frac{7±23}{10} kur ± është plus. Mblidh 7 me 23.

$$x=\frac{30}{10}$$

Pjesëto 30 me 10.

$$x=3$$

Tani zgjidhe ekuacionin x=\frac{7±23}{10} kur ± është minus. Zbrit 23 nga 7.

$$x=-\frac{16}{10}$$

Thjeshto thyesën \frac{-16}{10} në kufizat më të vogla duke zbritur dhe thjeshtuar 2.

$$x=-\frac{8}{5}$$

Ekuacioni është zgjidhur tani.

$$x=3 x=-\frac{8}{5}$$

Hapat për plotësimin e katrorit

Ekuacionet e shkallës së dytë si ky mund të zgjidhen duke plotësuar katrorin. Për të plotësuar katrorin, ekuacioni duhet të jetë në fillim në formën x^{2}+bx=c.

$$5x^{2}-7x=24$$

Pjesëto të dyja anët me 5.

$$\frac{5x^{2}-7x}{5}=\frac{24}{5}$$

Pjesëtimi me 5 zhbën shumëzimin me 5.

$$x^{2}-\frac{7}{5}x=\frac{24}{5}$$

Pjesëto -\frac{7}{5}, koeficientin e kufizës x, me 2 për të marrë -\frac{7}{10}. Më pas mblidh katrorin e -\frac{7}{10} në të dyja anët e ekuacionit. Ky hap e bën anën e majtë të ekuacionit një katror të përsosur.

$$x^{2}-\frac{7}{5}x+\left(-\frac{7}{10}\right)^{2}=\frac{24}{5}+\left(-\frac{7}{10}\right)^{2}$$

Ngri në fuqi të dytë -\frac{7}{10} duke ngritur në fuqi të dytë që të dy, numëruesin dhe emëruesin e thyesës.

$$x^{2}-\frac{7}{5}x+\frac{49}{100}=\frac{24}{5}+\frac{49}{100}$$

Mblidh \frac{24}{5} me \frac{49}{100} duke gjetur një emërues të përbashkët dhe duke mbledhur numëruesit. Pastaj zvogëlo thyesën në kufizat më të vogla nëse është e mundur.

$$x^{2}-\frac{7}{5}x+\frac{49}{100}=\frac{529}{100}$$

Faktori x^{2}-\frac{7}{5}x+\frac{49}{100}. Në përgjithësi, kur x^{2}+bx+c është një katror perfekt, mund të faktorizohet gjithmonë si \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{7}{10}\right)^{2}=\frac{529}{100}$$

Gjej rrënjën katrore të të dyja anëve të ekuacionit.

$$\sqrt{\left(x-\frac{7}{10}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{529}{100}}$$

Thjeshto.

$$x-\frac{7}{10}=\frac{23}{10} x-\frac{7}{10}=-\frac{23}{10}$$

Mblidh \frac{7}{10} në të dyja anët e ekuacionit.

$$x=3 x=-\frac{8}{5}$$