Zgjidh 5x^2-x-2184=0

$$5 { x }^{ 2 } -x-2184=0$$

Gjej x

$$x = -\frac{104}{5} = -20\frac{4}{5} = -20.8$$

$$x=21$$

Hapat që përdorin faktorizimin nëpërmjet grupimit

Për të zgjidhur ekuacionin, faktorizo anën e majtë nëpërmjet grupimit. Së pari, ana e majtë duhet të rishkruhet si 5x^{2}+ax+bx-2184. Për të gjetur a dhe b, parametrizo një sistem për ta zgjidhur.

$$a+b=-1 ab=5\left(-2184\right)=-10920$$

Meqenëse ab është negative, a dhe b kanë shenja të kundërta. Meqenëse a+b është negative, numri negativ ka vlerë absolute më të madhe se ai pozitiv. Listo të gjitha këto çifte numrash të plotë që japin prodhimin -10920.

$$1,-10920 2,-5460 3,-3640 4,-2730 5,-2184 6,-1820 7,-1560 8,-1365 10,-1092 12,-910 13,-840 14,-780 15,-728 20,-546 21,-520 24,-455 26,-420 28,-390 30,-364 35,-312 39,-280 40,-273 42,-260 52,-210 56,-195 60,-182 65,-168 70,-156 78,-140 84,-130 91,-120 104,-105$$

Llogarit shumën për çdo çift.

$$1-10920=-10919 2-5460=-5458 3-3640=-3637 4-2730=-2726 5-2184=-2179 6-1820=-1814 7-1560=-1553 8-1365=-1357 10-1092=-1082 12-910=-898 13-840=-827 14-780=-766 15-728=-713 20-546=-526 21-520=-499 24-455=-431 26-420=-394 28-390=-362 30-364=-334 35-312=-277 39-280=-241 40-273=-233 42-260=-218 52-210=-158 56-195=-139 60-182=-122 65-168=-103 70-156=-86 78-140=-62 84-130=-46 91-120=-29 104-105=-1$$

Zgjidhja është çifti që jep shumën -1.

$$a=-105 b=104$$

Rishkruaj 5x^{2}-x-2184 si \left(5x^{2}-105x\right)+\left(104x-2184\right).

$$\left(5x^{2}-105x\right)+\left(104x-2184\right)$$

Faktorizo 5x në grupin e parë dhe 104 në të dytin.

$$5x\left(x-21\right)+104\left(x-21\right)$$

Faktorizo pjesëtuesin e përbashkët x-21 duke përdorur vetinë e shpërndarjes.

$$\left(x-21\right)\left(5x+104\right)$$

Për të gjetur zgjidhjet e ekuacionit, zgjidh x-21=0 dhe 5x+104=0.

$$x=21 x=-\frac{104}{5}$$

Hapat që përdorin formulën e zgjidhjes së ekuacioneve të shkallës së dytë

Të gjitha ekuacionet e formës ax^{2}+bx+c=0 mund të zgjidhen duke përdorur formulën e zgjidhjes së ekuacioneve të shkallës së dytë: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula e zgjidhjes së ekuacioneve të shkallës së dytë jep dy zgjidhje, një kur ± është mbledhje dhe një kur është zbritje.

$$5x^{2}-x-2184=0$$

Ky ekuacion është në formën standarde: ax^{2}+bx+c=0. Zëvendëso a me 5, b me -1 dhe c me -2184 në formulën e zgjidhjes së ekuacioneve të shkallës së dytë, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-4\times 5\left(-2184\right)}}{2\times 5}$$

Shumëzo -4 herë 5.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-20\left(-2184\right)}}{2\times 5}$$

Shumëzo -20 herë -2184.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1+43680}}{2\times 5}$$

Mblidh 1 me 43680.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{43681}}{2\times 5}$$

Gjej rrënjën katrore të 43681.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±209}{2\times 5}$$

E kundërta e -1 është 1.

$$x=\frac{1±209}{2\times 5}$$

Shumëzo 2 herë 5.

$$x=\frac{1±209}{10}$$

Tani zgjidhe ekuacionin x=\frac{1±209}{10} kur ± është plus. Mblidh 1 me 209.

$$x=\frac{210}{10}$$

Pjesëto 210 me 10.

$$x=21$$

Tani zgjidhe ekuacionin x=\frac{1±209}{10} kur ± është minus. Zbrit 209 nga 1.

$$x=-\frac{208}{10}$$

Thjeshto thyesën \frac{-208}{10} në kufizat më të vogla duke zbritur dhe thjeshtuar 2.

$$x=-\frac{104}{5}$$

Ekuacioni është zgjidhur tani.

$$x=21 x=-\frac{104}{5}$$

Hapat për plotësimin e katrorit

Ekuacionet e shkallës së dytë si ky mund të zgjidhen duke plotësuar katrorin. Për të plotësuar katrorin, ekuacioni duhet të jetë në fillim në formën x^{2}+bx=c.

$$5x^{2}-x-2184=0$$

Mblidh 2184 në të dyja anët e ekuacionit.

$$5x^{2}-x-2184-\left(-2184\right)=-\left(-2184\right)$$

Zbritja e -2184 nga vetja e tij jep 0.

$$5x^{2}-x=-\left(-2184\right)$$

Zbrit -2184 nga 0.

$$5x^{2}-x=2184$$

Pjesëto të dyja anët me 5.

$$\frac{5x^{2}-x}{5}=\frac{2184}{5}$$

Pjesëtimi me 5 zhbën shumëzimin me 5.

$$x^{2}-\frac{1}{5}x=\frac{2184}{5}$$

Pjesëto -\frac{1}{5}, koeficientin e kufizës x, me 2 për të marrë -\frac{1}{10}. Më pas mblidh katrorin e -\frac{1}{10} në të dyja anët e ekuacionit. Ky hap e bën anën e majtë të ekuacionit një katror të përsosur.

$$x^{2}-\frac{1}{5}x+\left(-\frac{1}{10}\right)^{2}=\frac{2184}{5}+\left(-\frac{1}{10}\right)^{2}$$

Ngri në fuqi të dytë -\frac{1}{10} duke ngritur në fuqi të dytë që të dy, numëruesin dhe emëruesin e thyesës.

$$x^{2}-\frac{1}{5}x+\frac{1}{100}=\frac{2184}{5}+\frac{1}{100}$$

Mblidh \frac{2184}{5} me \frac{1}{100} duke gjetur një emërues të përbashkët dhe duke mbledhur numëruesit. Pastaj zvogëlo thyesën në kufizat më të vogla nëse është e mundur.

$$x^{2}-\frac{1}{5}x+\frac{1}{100}=\frac{43681}{100}$$

Faktori x^{2}-\frac{1}{5}x+\frac{1}{100}. Në përgjithësi, kur x^{2}+bx+c është një katror perfekt, mund të faktorizohet gjithmonë si \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{10}\right)^{2}=\frac{43681}{100}$$

Gjej rrënjën katrore të të dyja anëve të ekuacionit.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{10}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{43681}{100}}$$

Thjeshto.

$$x-\frac{1}{10}=\frac{209}{10} x-\frac{1}{10}=-\frac{209}{10}$$

Mblidh \frac{1}{10} në të dyja anët e ekuacionit.

$$x=21 x=-\frac{104}{5}$$