Zgjidh 5x^2-41x+42

$$5 { x }^{ 2 } -41x+42$$

Faktorizo

$$\left(x-7\right)\left(5x-6\right)$$

Hapat e zgjidhjes

Faktorizo shprehjen nëpërmjet grupimit. Së pari, shprehja duhet të rishkruhet si 5x^{2}+ax+bx+42. Për të gjetur a dhe b, parametrizo një sistem për ta zgjidhur.

$$a+b=-41 ab=5\times 42=210$$

Meqenëse ab është pozitive, a dhe b kanë shenjë të njëjtë. Meqenëse a+b është negative, a dhe b janë të dyja negative. Listo të gjitha këto çifte numrash të plotë që japin prodhimin 210.

$$-1,-210 -2,-105 -3,-70 -5,-42 -6,-35 -7,-30 -10,-21 -14,-15$$

Llogarit shumën për çdo çift.

$$-1-210=-211 -2-105=-107 -3-70=-73 -5-42=-47 -6-35=-41 -7-30=-37 -10-21=-31 -14-15=-29$$

Zgjidhja është çifti që jep shumën -41.

$$a=-35 b=-6$$

Rishkruaj 5x^{2}-41x+42 si \left(5x^{2}-35x\right)+\left(-6x+42\right).

$$\left(5x^{2}-35x\right)+\left(-6x+42\right)$$

Faktorizo 5x në grupin e parë dhe -6 në të dytin.

$$5x\left(x-7\right)-6\left(x-7\right)$$

Faktorizo pjesëtuesin e përbashkët x-7 duke përdorur vetinë e shpërndarjes.

$$\left(x-7\right)\left(5x-6\right)$$

Hapat që përdorin formulën e zgjidhjes së ekuacioneve të shkallës së dytë

Polinomi i shkallës së dytë mund të faktorizohet duke përdorur transformimin ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), ku x_{1} dhe x_{2} janë zgjidhjet e ekuacionit të shkallës së dytë ax^{2}+bx+c=0.

$$5x^{2}-41x+42=0$$

Të gjitha ekuacionet e formës ax^{2}+bx+c=0 mund të zgjidhen duke përdorur formulën e zgjidhjes së ekuacioneve të shkallës së dytë: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula e zgjidhjes së ekuacioneve të shkallës së dytë jep dy zgjidhje, një kur ± është mbledhje dhe një kur është zbritje.

$$x=\frac{-\left(-41\right)±\sqrt{\left(-41\right)^{2}-4\times 5\times 42}}{2\times 5}$$

Ngri në fuqi të dytë -41.

$$x=\frac{-\left(-41\right)±\sqrt{1681-4\times 5\times 42}}{2\times 5}$$

Shumëzo -4 herë 5.

$$x=\frac{-\left(-41\right)±\sqrt{1681-20\times 42}}{2\times 5}$$

Shumëzo -20 herë 42.

$$x=\frac{-\left(-41\right)±\sqrt{1681-840}}{2\times 5}$$

Mblidh 1681 me -840.

$$x=\frac{-\left(-41\right)±\sqrt{841}}{2\times 5}$$

Gjej rrënjën katrore të 841.

$$x=\frac{-\left(-41\right)±29}{2\times 5}$$

E kundërta e -41 është 41.

$$x=\frac{41±29}{2\times 5}$$

Shumëzo 2 herë 5.

$$x=\frac{41±29}{10}$$

Tani zgjidhe ekuacionin x=\frac{41±29}{10} kur ± është plus. Mblidh 41 me 29.

$$x=\frac{70}{10}$$

Pjesëto 70 me 10.

$$x=7$$

Tani zgjidhe ekuacionin x=\frac{41±29}{10} kur ± është minus. Zbrit 29 nga 41.

$$x=\frac{12}{10}$$

Thjeshto thyesën \frac{12}{10} në kufizat më të vogla duke zbritur dhe thjeshtuar 2.

$$x=\frac{6}{5}$$

Faktorizo shprehjen origjinale duke përdorur ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Zëvendëso 7 për x_{1} dhe \frac{6}{5} për x_{2}.

$$5x^{2}-41x+42=5\left(x-7\right)\left(x-\frac{6}{5}\right)$$

Zbrit \frac{6}{5} nga x duke gjetur një emërues të përbashkët dhe duke zbritur numëruesit. Më pas thjeshto thyesën në kufizat më të vogla nëse është e mundur.

$$5x^{2}-41x+42=5\left(x-7\right)\times \frac{5x-6}{5}$$

Thjeshto faktorin më të madh të përbashkët 5 në 5 dhe 5.

$$5x^{2}-41x+42=\left(x-7\right)\left(5x-6\right)$$

Vlerëso

$$\left(x-7\right)\left(5x-6\right)$$