Zgjidh 5x^2-29x-42=0

$$5 { x }^{ 2 } -29x-42=0$$

Gjej x

$$x = -\frac{6}{5} = -1\frac{1}{5} = -1.2$$

$$x=7$$

Hapat që përdorin faktorizimin nëpërmjet grupimit

Për të zgjidhur ekuacionin, faktorizo anën e majtë nëpërmjet grupimit. Së pari, ana e majtë duhet të rishkruhet si 5x^{2}+ax+bx-42. Për të gjetur a dhe b, parametrizo një sistem për ta zgjidhur.

$$a+b=-29 ab=5\left(-42\right)=-210$$

Meqenëse ab është negative, a dhe b kanë shenja të kundërta. Meqenëse a+b është negative, numri negativ ka vlerë absolute më të madhe se ai pozitiv. Listo të gjitha këto çifte numrash të plotë që japin prodhimin -210.

$$1,-210 2,-105 3,-70 5,-42 6,-35 7,-30 10,-21 14,-15$$

Llogarit shumën për çdo çift.

$$1-210=-209 2-105=-103 3-70=-67 5-42=-37 6-35=-29 7-30=-23 10-21=-11 14-15=-1$$

Zgjidhja është çifti që jep shumën -29.

$$a=-35 b=6$$

Rishkruaj 5x^{2}-29x-42 si \left(5x^{2}-35x\right)+\left(6x-42\right).

$$\left(5x^{2}-35x\right)+\left(6x-42\right)$$

Faktorizo 5x në grupin e parë dhe 6 në të dytin.

$$5x\left(x-7\right)+6\left(x-7\right)$$

Faktorizo pjesëtuesin e përbashkët x-7 duke përdorur vetinë e shpërndarjes.

$$\left(x-7\right)\left(5x+6\right)$$

Për të gjetur zgjidhjet e ekuacionit, zgjidh x-7=0 dhe 5x+6=0.

$$x=7 x=-\frac{6}{5}$$

Hapat që përdorin formulën e zgjidhjes së ekuacioneve të shkallës së dytë

Të gjitha ekuacionet e formës ax^{2}+bx+c=0 mund të zgjidhen duke përdorur formulën e zgjidhjes së ekuacioneve të shkallës së dytë: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula e zgjidhjes së ekuacioneve të shkallës së dytë jep dy zgjidhje, një kur ± është mbledhje dhe një kur është zbritje.

$$5x^{2}-29x-42=0$$

Ky ekuacion është në formën standarde: ax^{2}+bx+c=0. Zëvendëso a me 5, b me -29 dhe c me -42 në formulën e zgjidhjes së ekuacioneve të shkallës së dytë, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-29\right)±\sqrt{\left(-29\right)^{2}-4\times 5\left(-42\right)}}{2\times 5}$$

Ngri në fuqi të dytë -29.

$$x=\frac{-\left(-29\right)±\sqrt{841-4\times 5\left(-42\right)}}{2\times 5}$$

Shumëzo -4 herë 5.

$$x=\frac{-\left(-29\right)±\sqrt{841-20\left(-42\right)}}{2\times 5}$$

Shumëzo -20 herë -42.

$$x=\frac{-\left(-29\right)±\sqrt{841+840}}{2\times 5}$$

Mblidh 841 me 840.

$$x=\frac{-\left(-29\right)±\sqrt{1681}}{2\times 5}$$

Gjej rrënjën katrore të 1681.

$$x=\frac{-\left(-29\right)±41}{2\times 5}$$

E kundërta e -29 është 29.

$$x=\frac{29±41}{2\times 5}$$

Shumëzo 2 herë 5.

$$x=\frac{29±41}{10}$$

Tani zgjidhe ekuacionin x=\frac{29±41}{10} kur ± është plus. Mblidh 29 me 41.

$$x=\frac{70}{10}$$

Pjesëto 70 me 10.

$$x=7$$

Tani zgjidhe ekuacionin x=\frac{29±41}{10} kur ± është minus. Zbrit 41 nga 29.

$$x=-\frac{12}{10}$$

Thjeshto thyesën \frac{-12}{10} në kufizat më të vogla duke zbritur dhe thjeshtuar 2.

$$x=-\frac{6}{5}$$

Ekuacioni është zgjidhur tani.

$$x=7 x=-\frac{6}{5}$$

Hapat për plotësimin e katrorit

Ekuacionet e shkallës së dytë si ky mund të zgjidhen duke plotësuar katrorin. Për të plotësuar katrorin, ekuacioni duhet të jetë në fillim në formën x^{2}+bx=c.

$$5x^{2}-29x-42=0$$

Mblidh 42 në të dyja anët e ekuacionit.

$$5x^{2}-29x-42-\left(-42\right)=-\left(-42\right)$$

Zbritja e -42 nga vetja e tij jep 0.

$$5x^{2}-29x=-\left(-42\right)$$

Zbrit -42 nga 0.

$$5x^{2}-29x=42$$

Pjesëto të dyja anët me 5.

$$\frac{5x^{2}-29x}{5}=\frac{42}{5}$$

Pjesëtimi me 5 zhbën shumëzimin me 5.

$$x^{2}-\frac{29}{5}x=\frac{42}{5}$$

Pjesëto -\frac{29}{5}, koeficientin e kufizës x, me 2 për të marrë -\frac{29}{10}. Më pas mblidh katrorin e -\frac{29}{10} në të dyja anët e ekuacionit. Ky hap e bën anën e majtë të ekuacionit një katror të përsosur.

$$x^{2}-\frac{29}{5}x+\left(-\frac{29}{10}\right)^{2}=\frac{42}{5}+\left(-\frac{29}{10}\right)^{2}$$

Ngri në fuqi të dytë -\frac{29}{10} duke ngritur në fuqi të dytë që të dy, numëruesin dhe emëruesin e thyesës.

$$x^{2}-\frac{29}{5}x+\frac{841}{100}=\frac{42}{5}+\frac{841}{100}$$

Mblidh \frac{42}{5} me \frac{841}{100} duke gjetur një emërues të përbashkët dhe duke mbledhur numëruesit. Pastaj zvogëlo thyesën në kufizat më të vogla nëse është e mundur.

$$x^{2}-\frac{29}{5}x+\frac{841}{100}=\frac{1681}{100}$$

Faktori x^{2}-\frac{29}{5}x+\frac{841}{100}. Në përgjithësi, kur x^{2}+bx+c është një katror perfekt, mund të faktorizohet gjithmonë si \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{29}{10}\right)^{2}=\frac{1681}{100}$$

Gjej rrënjën katrore të të dyja anëve të ekuacionit.

$$\sqrt{\left(x-\frac{29}{10}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1681}{100}}$$

Thjeshto.

$$x-\frac{29}{10}=\frac{41}{10} x-\frac{29}{10}=-\frac{41}{10}$$

Mblidh \frac{29}{10} në të dyja anët e ekuacionit.

$$x=7 x=-\frac{6}{5}$$