Zgjidh 49x^2-42x+9

$$49 x ^ { 2 } - 42 x + 9$$

Faktorizo

$$\left(7x-3\right)^{2}$$

Hapat e zgjidhjes

Faktorizo shprehjen nëpërmjet grupimit. Së pari, shprehja duhet të rishkruhet si 49x^{2}+ax+bx+9. Për të gjetur a dhe b, parametrizo një sistem për ta zgjidhur.

$$a+b=-42 ab=49\times 9=441$$

Meqenëse ab është pozitive, a dhe b kanë shenjë të njëjtë. Meqenëse a+b është negative, a dhe b janë të dyja negative. Listo të gjitha këto çifte numrash të plotë që japin prodhimin 441.

$$-1,-441 -3,-147 -7,-63 -9,-49 -21,-21$$

Llogarit shumën për çdo çift.

$$-1-441=-442 -3-147=-150 -7-63=-70 -9-49=-58 -21-21=-42$$

Zgjidhja është çifti që jep shumën -42.

$$a=-21 b=-21$$

Rishkruaj 49x^{2}-42x+9 si \left(49x^{2}-21x\right)+\left(-21x+9\right).

$$\left(49x^{2}-21x\right)+\left(-21x+9\right)$$

Faktorizo 7x në grupin e parë dhe -3 në të dytin.

$$7x\left(7x-3\right)-3\left(7x-3\right)$$

Faktorizo pjesëtuesin e përbashkët 7x-3 duke përdorur vetinë e shpërndarjes.

$$\left(7x-3\right)\left(7x-3\right)$$

Rishkruaj si një katror binomi.

$$\left(7x-3\right)^{2}$$

Hapat që përdorin katrorin e binomit

Ky trinom ka formën e një katrori trinomi, ndoshta të shumëzuar me një faktor të përbashkët. Katrorët e trinomit mund të faktorizohen duke gjetur rrënjët katrore të termit të parë dhe të fundit.

$$factor(49x^{2}-42x+9)$$

Gjej faktorin më të madh të përbashkët të koeficienteve.

$$gcf(49,-42,9)=1$$

Gjej rrënjën katrore të kufizës së parë, 49x^{2}.

$$\sqrt{49x^{2}}=7x$$

Gjej rrënjën katrore të kufizës së fundit, 9.

$$\sqrt{9}=3$$

Katrori i trinomit është katrori i binomit që është shuma ose diferenca e rrënjëve katrore të kufizës së parë dhe të fundit, me shenjën e përcaktuar nga shenja e kufizës së mesit të katrorit të trinomit.

$$\left(7x-3\right)^{2}$$

Hapat që përdorin formulën e zgjidhjes së ekuacioneve të shkallës së dytë

Polinomi i shkallës së dytë mund të faktorizohet duke përdorur transformimin ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), ku x_{1} dhe x_{2} janë zgjidhjet e ekuacionit të shkallës së dytë ax^{2}+bx+c=0.

$$49x^{2}-42x+9=0$$

Të gjitha ekuacionet e formës ax^{2}+bx+c=0 mund të zgjidhen duke përdorur formulën e zgjidhjes së ekuacioneve të shkallës së dytë: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula e zgjidhjes së ekuacioneve të shkallës së dytë jep dy zgjidhje, një kur ± është mbledhje dhe një kur është zbritje.

$$x=\frac{-\left(-42\right)±\sqrt{\left(-42\right)^{2}-4\times 49\times 9}}{2\times 49}$$

Ngri në fuqi të dytë -42.

$$x=\frac{-\left(-42\right)±\sqrt{1764-4\times 49\times 9}}{2\times 49}$$

Shumëzo -4 herë 49.

$$x=\frac{-\left(-42\right)±\sqrt{1764-196\times 9}}{2\times 49}$$

Shumëzo -196 herë 9.

$$x=\frac{-\left(-42\right)±\sqrt{1764-1764}}{2\times 49}$$

Mblidh 1764 me -1764.

$$x=\frac{-\left(-42\right)±\sqrt{0}}{2\times 49}$$

Gjej rrënjën katrore të 0.

$$x=\frac{-\left(-42\right)±0}{2\times 49}$$

E kundërta e -42 është 42.

$$x=\frac{42±0}{2\times 49}$$

Shumëzo 2 herë 49.

$$x=\frac{42±0}{98}$$

Faktorizo shprehjen origjinale duke përdorur ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Zëvendëso \frac{3}{7} për x_{1} dhe \frac{3}{7} për x_{2}.

$$49x^{2}-42x+9=49\left(x-\frac{3}{7}\right)\left(x-\frac{3}{7}\right)$$

Zbrit \frac{3}{7} nga x duke gjetur një emërues të përbashkët dhe duke zbritur numëruesit. Më pas thjeshto thyesën në kufizat më të vogla nëse është e mundur.

$$49x^{2}-42x+9=49\times \frac{7x-3}{7}\left(x-\frac{3}{7}\right)$$

Zbrit \frac{3}{7} nga x duke gjetur një emërues të përbashkët dhe duke zbritur numëruesit. Më pas thjeshto thyesën në kufizat më të vogla nëse është e mundur.

$$49x^{2}-42x+9=49\times \frac{7x-3}{7}\times \frac{7x-3}{7}$$

Shumëzo \frac{7x-3}{7} herë \frac{7x-3}{7} duke shumëzuar numëruesin herë numëruesin dhe emëruesin herë emëruesin. Më pas thjeshtoje thyesën në kufizat më të vogla nëse është e mundur.

$$49x^{2}-42x+9=49\times \frac{\left(7x-3\right)\left(7x-3\right)}{7\times 7}$$

Shumëzo 7 herë 7.

$$49x^{2}-42x+9=49\times \frac{\left(7x-3\right)\left(7x-3\right)}{49}$$

Thjeshto faktorin më të madh të përbashkët 49 në 49 dhe 49.

$$49x^{2}-42x+9=\left(7x-3\right)\left(7x-3\right)$$

Vlerëso

$$\left(7x-3\right)^{2}$$