Zgjidh 42x^2-5x-3=0

$$42 x ^ { 2 } - 5 x - 3 = 0$$

Gjej x

$$x=-\frac{3}{14}\approx -0.214285714$$

$$x=\frac{1}{3}\approx 0.333333333$$

Hapat që përdorin faktorizimin nëpërmjet grupimit

Për të zgjidhur ekuacionin, faktorizo anën e majtë nëpërmjet grupimit. Së pari, ana e majtë duhet të rishkruhet si 42x^{2}+ax+bx-3. Për të gjetur a dhe b, parametrizo një sistem për ta zgjidhur.

$$a+b=-5 ab=42\left(-3\right)=-126$$

Meqenëse ab është negative, a dhe b kanë shenja të kundërta. Meqenëse a+b është negative, numri negativ ka vlerë absolute më të madhe se ai pozitiv. Listo të gjitha këto çifte numrash të plotë që japin prodhimin -126.

$$1,-126 2,-63 3,-42 6,-21 7,-18 9,-14$$

Llogarit shumën për çdo çift.

$$1-126=-125 2-63=-61 3-42=-39 6-21=-15 7-18=-11 9-14=-5$$

Zgjidhja është çifti që jep shumën -5.

$$a=-14 b=9$$

Rishkruaj 42x^{2}-5x-3 si \left(42x^{2}-14x\right)+\left(9x-3\right).

$$\left(42x^{2}-14x\right)+\left(9x-3\right)$$

Faktorizo 14x në grupin e parë dhe 3 në të dytin.

$$14x\left(3x-1\right)+3\left(3x-1\right)$$

Faktorizo pjesëtuesin e përbashkët 3x-1 duke përdorur vetinë e shpërndarjes.

$$\left(3x-1\right)\left(14x+3\right)$$

Për të gjetur zgjidhjet e ekuacionit, zgjidh 3x-1=0 dhe 14x+3=0.

$$x=\frac{1}{3} x=-\frac{3}{14}$$

Hapat që përdorin formulën e zgjidhjes së ekuacioneve të shkallës së dytë

Të gjitha ekuacionet e formës ax^{2}+bx+c=0 mund të zgjidhen duke përdorur formulën e zgjidhjes së ekuacioneve të shkallës së dytë: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula e zgjidhjes së ekuacioneve të shkallës së dytë jep dy zgjidhje, një kur ± është mbledhje dhe një kur është zbritje.

$$42x^{2}-5x-3=0$$

Ky ekuacion është në formën standarde: ax^{2}+bx+c=0. Zëvendëso a me 42, b me -5 dhe c me -3 në formulën e zgjidhjes së ekuacioneve të shkallës së dytë, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{\left(-5\right)^{2}-4\times 42\left(-3\right)}}{2\times 42}$$

Ngri në fuqi të dytë -5.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-4\times 42\left(-3\right)}}{2\times 42}$$

Shumëzo -4 herë 42.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-168\left(-3\right)}}{2\times 42}$$

Shumëzo -168 herë -3.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25+504}}{2\times 42}$$

Mblidh 25 me 504.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{529}}{2\times 42}$$

Gjej rrënjën katrore të 529.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±23}{2\times 42}$$

E kundërta e -5 është 5.

$$x=\frac{5±23}{2\times 42}$$

Shumëzo 2 herë 42.

$$x=\frac{5±23}{84}$$

Tani zgjidhe ekuacionin x=\frac{5±23}{84} kur ± është plus. Mblidh 5 me 23.

$$x=\frac{28}{84}$$

Thjeshto thyesën \frac{28}{84} në kufizat më të vogla duke zbritur dhe thjeshtuar 28.

$$x=\frac{1}{3}$$

Tani zgjidhe ekuacionin x=\frac{5±23}{84} kur ± është minus. Zbrit 23 nga 5.

$$x=-\frac{18}{84}$$

Thjeshto thyesën \frac{-18}{84} në kufizat më të vogla duke zbritur dhe thjeshtuar 6.

$$x=-\frac{3}{14}$$

Ekuacioni është zgjidhur tani.

$$x=\frac{1}{3} x=-\frac{3}{14}$$

Hapat për plotësimin e katrorit

Ekuacionet e shkallës së dytë si ky mund të zgjidhen duke plotësuar katrorin. Për të plotësuar katrorin, ekuacioni duhet të jetë në fillim në formën x^{2}+bx=c.

$$42x^{2}-5x-3=0$$

Mblidh 3 në të dyja anët e ekuacionit.

$$42x^{2}-5x-3-\left(-3\right)=-\left(-3\right)$$

Zbritja e -3 nga vetja e tij jep 0.

$$42x^{2}-5x=-\left(-3\right)$$

Zbrit -3 nga 0.

$$42x^{2}-5x=3$$

Pjesëto të dyja anët me 42.

$$\frac{42x^{2}-5x}{42}=\frac{3}{42}$$

Pjesëtimi me 42 zhbën shumëzimin me 42.

$$x^{2}-\frac{5}{42}x=\frac{3}{42}$$

Thjeshto thyesën \frac{3}{42} në kufizat më të vogla duke zbritur dhe thjeshtuar 3.

$$x^{2}-\frac{5}{42}x=\frac{1}{14}$$

Pjesëto -\frac{5}{42}, koeficientin e kufizës x, me 2 për të marrë -\frac{5}{84}. Më pas mblidh katrorin e -\frac{5}{84} në të dyja anët e ekuacionit. Ky hap e bën anën e majtë të ekuacionit një katror të përsosur.

$$x^{2}-\frac{5}{42}x+\left(-\frac{5}{84}\right)^{2}=\frac{1}{14}+\left(-\frac{5}{84}\right)^{2}$$

Ngri në fuqi të dytë -\frac{5}{84} duke ngritur në fuqi të dytë që të dy, numëruesin dhe emëruesin e thyesës.

$$x^{2}-\frac{5}{42}x+\frac{25}{7056}=\frac{1}{14}+\frac{25}{7056}$$

Mblidh \frac{1}{14} me \frac{25}{7056} duke gjetur një emërues të përbashkët dhe duke mbledhur numëruesit. Pastaj zvogëlo thyesën në kufizat më të vogla nëse është e mundur.

$$x^{2}-\frac{5}{42}x+\frac{25}{7056}=\frac{529}{7056}$$

Faktori x^{2}-\frac{5}{42}x+\frac{25}{7056}. Në përgjithësi, kur x^{2}+bx+c është një katror perfekt, mund të faktorizohet gjithmonë si \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{5}{84}\right)^{2}=\frac{529}{7056}$$

Gjej rrënjën katrore të të dyja anëve të ekuacionit.

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{84}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{529}{7056}}$$

Thjeshto.

$$x-\frac{5}{84}=\frac{23}{84} x-\frac{5}{84}=-\frac{23}{84}$$

Mblidh \frac{5}{84} në të dyja anët e ekuacionit.

$$x=\frac{1}{3} x=-\frac{3}{14}$$