Zgjidh 4y^2-9y+2=0

$$4 y ^ { 2 } - 9 y + 2 = 0$$

Gjej y

$$y=\frac{1}{4}=0.25$$

$$y=2$$

Hapat që përdorin faktorizimin nëpërmjet grupimit

Për të zgjidhur ekuacionin, faktorizo anën e majtë nëpërmjet grupimit. Së pari, ana e majtë duhet të rishkruhet si 4y^{2}+ay+by+2. Për të gjetur a dhe b, parametrizo një sistem për ta zgjidhur.

$$a+b=-9 ab=4\times 2=8$$

Meqenëse ab është pozitive, a dhe b kanë shenjë të njëjtë. Meqenëse a+b është negative, a dhe b janë të dyja negative. Listo të gjitha këto çifte numrash të plotë që japin prodhimin 8.

$$-1,-8 -2,-4$$

Llogarit shumën për çdo çift.

$$-1-8=-9 -2-4=-6$$

Zgjidhja është çifti që jep shumën -9.

$$a=-8 b=-1$$

Rishkruaj 4y^{2}-9y+2 si \left(4y^{2}-8y\right)+\left(-y+2\right).

$$\left(4y^{2}-8y\right)+\left(-y+2\right)$$

Faktorizo 4y në grupin e parë dhe -1 në të dytin.

$$4y\left(y-2\right)-\left(y-2\right)$$

Faktorizo pjesëtuesin e përbashkët y-2 duke përdorur vetinë e shpërndarjes.

$$\left(y-2\right)\left(4y-1\right)$$

Për të gjetur zgjidhjet e ekuacionit, zgjidh y-2=0 dhe 4y-1=0.

$$y=2 y=\frac{1}{4}$$

Hapat që përdorin formulën e zgjidhjes së ekuacioneve të shkallës së dytë

Të gjitha ekuacionet e formës ax^{2}+bx+c=0 mund të zgjidhen duke përdorur formulën e zgjidhjes së ekuacioneve të shkallës së dytë: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula e zgjidhjes së ekuacioneve të shkallës së dytë jep dy zgjidhje, një kur ± është mbledhje dhe një kur është zbritje.

$$4y^{2}-9y+2=0$$

Ky ekuacion është në formën standarde: ax^{2}+bx+c=0. Zëvendëso a me 4, b me -9 dhe c me 2 në formulën e zgjidhjes së ekuacioneve të shkallës së dytë, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$y=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{\left(-9\right)^{2}-4\times 4\times 2}}{2\times 4}$$

Ngri në fuqi të dytë -9.

$$y=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{81-4\times 4\times 2}}{2\times 4}$$

Shumëzo -4 herë 4.

$$y=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{81-16\times 2}}{2\times 4}$$

Shumëzo -16 herë 2.

$$y=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{81-32}}{2\times 4}$$

Mblidh 81 me -32.

$$y=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{49}}{2\times 4}$$

Gjej rrënjën katrore të 49.

$$y=\frac{-\left(-9\right)±7}{2\times 4}$$

E kundërta e -9 është 9.

$$y=\frac{9±7}{2\times 4}$$

Shumëzo 2 herë 4.

$$y=\frac{9±7}{8}$$

Tani zgjidhe ekuacionin y=\frac{9±7}{8} kur ± është plus. Mblidh 9 me 7.

$$y=\frac{16}{8}$$

Pjesëto 16 me 8.

$$y=2$$

Tani zgjidhe ekuacionin y=\frac{9±7}{8} kur ± është minus. Zbrit 7 nga 9.

$$y=\frac{2}{8}$$

Thjeshto thyesën \frac{2}{8} në kufizat më të vogla duke zbritur dhe thjeshtuar 2.

$$y=\frac{1}{4}$$

Ekuacioni është zgjidhur tani.

$$y=2 y=\frac{1}{4}$$

Hapat për plotësimin e katrorit

Ekuacionet e shkallës së dytë si ky mund të zgjidhen duke plotësuar katrorin. Për të plotësuar katrorin, ekuacioni duhet të jetë në fillim në formën x^{2}+bx=c.

$$4y^{2}-9y+2=0$$

Zbrit 2 nga të dyja anët e ekuacionit.

$$4y^{2}-9y+2-2=-2$$

Zbritja e 2 nga vetja e tij jep 0.

$$4y^{2}-9y=-2$$

Pjesëto të dyja anët me 4.

$$\frac{4y^{2}-9y}{4}=-\frac{2}{4}$$

Pjesëtimi me 4 zhbën shumëzimin me 4.

$$y^{2}-\frac{9}{4}y=-\frac{2}{4}$$

Thjeshto thyesën \frac{-2}{4} në kufizat më të vogla duke zbritur dhe thjeshtuar 2.

$$y^{2}-\frac{9}{4}y=-\frac{1}{2}$$

Pjesëto -\frac{9}{4}, koeficientin e kufizës x, me 2 për të marrë -\frac{9}{8}. Më pas mblidh katrorin e -\frac{9}{8} në të dyja anët e ekuacionit. Ky hap e bën anën e majtë të ekuacionit një katror të përsosur.

$$y^{2}-\frac{9}{4}y+\left(-\frac{9}{8}\right)^{2}=-\frac{1}{2}+\left(-\frac{9}{8}\right)^{2}$$

Ngri në fuqi të dytë -\frac{9}{8} duke ngritur në fuqi të dytë që të dy, numëruesin dhe emëruesin e thyesës.

$$y^{2}-\frac{9}{4}y+\frac{81}{64}=-\frac{1}{2}+\frac{81}{64}$$

Mblidh -\frac{1}{2} me \frac{81}{64} duke gjetur një emërues të përbashkët dhe duke mbledhur numëruesit. Pastaj zvogëlo thyesën në kufizat më të vogla nëse është e mundur.

$$y^{2}-\frac{9}{4}y+\frac{81}{64}=\frac{49}{64}$$

Faktori y^{2}-\frac{9}{4}y+\frac{81}{64}. Në përgjithësi, kur x^{2}+bx+c është një katror perfekt, mund të faktorizohet gjithmonë si \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(y-\frac{9}{8}\right)^{2}=\frac{49}{64}$$

Gjej rrënjën katrore të të dyja anëve të ekuacionit.

$$\sqrt{\left(y-\frac{9}{8}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{64}}$$

Thjeshto.

$$y-\frac{9}{8}=\frac{7}{8} y-\frac{9}{8}=-\frac{7}{8}$$

Mblidh \frac{9}{8} në të dyja anët e ekuacionit.

$$y=2 y=\frac{1}{4}$$