Zgjidh 4y^2-24y+27

$$4 y ^ { 2 } - 24 y + 27$$

Faktorizo

$$\left(2y-9\right)\left(2y-3\right)$$

Hapat e zgjidhjes

Faktorizo shprehjen nëpërmjet grupimit. Së pari, shprehja duhet të rishkruhet si 4y^{2}+ay+by+27. Për të gjetur a dhe b, parametrizo një sistem për ta zgjidhur.

$$a+b=-24 ab=4\times 27=108$$

Meqenëse ab është pozitive, a dhe b kanë shenjë të njëjtë. Meqenëse a+b është negative, a dhe b janë të dyja negative. Listo të gjitha këto çifte numrash të plotë që japin prodhimin 108.

$$-1,-108 -2,-54 -3,-36 -4,-27 -6,-18 -9,-12$$

Llogarit shumën për çdo çift.

$$-1-108=-109 -2-54=-56 -3-36=-39 -4-27=-31 -6-18=-24 -9-12=-21$$

Zgjidhja është çifti që jep shumën -24.

$$a=-18 b=-6$$

Rishkruaj 4y^{2}-24y+27 si \left(4y^{2}-18y\right)+\left(-6y+27\right).

$$\left(4y^{2}-18y\right)+\left(-6y+27\right)$$

Faktorizo 2y në grupin e parë dhe -3 në të dytin.

$$2y\left(2y-9\right)-3\left(2y-9\right)$$

Faktorizo pjesëtuesin e përbashkët 2y-9 duke përdorur vetinë e shpërndarjes.

$$\left(2y-9\right)\left(2y-3\right)$$

Hapat që përdorin formulën e zgjidhjes së ekuacioneve të shkallës së dytë

Polinomi i shkallës së dytë mund të faktorizohet duke përdorur transformimin ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), ku x_{1} dhe x_{2} janë zgjidhjet e ekuacionit të shkallës së dytë ax^{2}+bx+c=0.

$$4y^{2}-24y+27=0$$

Të gjitha ekuacionet e formës ax^{2}+bx+c=0 mund të zgjidhen duke përdorur formulën e zgjidhjes së ekuacioneve të shkallës së dytë: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula e zgjidhjes së ekuacioneve të shkallës së dytë jep dy zgjidhje, një kur ± është mbledhje dhe një kur është zbritje.

$$y=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{\left(-24\right)^{2}-4\times 4\times 27}}{2\times 4}$$

Ngri në fuqi të dytë -24.

$$y=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{576-4\times 4\times 27}}{2\times 4}$$

Shumëzo -4 herë 4.

$$y=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{576-16\times 27}}{2\times 4}$$

Shumëzo -16 herë 27.

$$y=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{576-432}}{2\times 4}$$

Mblidh 576 me -432.

$$y=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{144}}{2\times 4}$$

Gjej rrënjën katrore të 144.

$$y=\frac{-\left(-24\right)±12}{2\times 4}$$

E kundërta e -24 është 24.

$$y=\frac{24±12}{2\times 4}$$

Shumëzo 2 herë 4.

$$y=\frac{24±12}{8}$$

Tani zgjidhe ekuacionin y=\frac{24±12}{8} kur ± është plus. Mblidh 24 me 12.

$$y=\frac{36}{8}$$

Thjeshto thyesën \frac{36}{8} në kufizat më të vogla duke zbritur dhe thjeshtuar 4.

$$y=\frac{9}{2}$$

Tani zgjidhe ekuacionin y=\frac{24±12}{8} kur ± është minus. Zbrit 12 nga 24.

$$y=\frac{12}{8}$$

Thjeshto thyesën \frac{12}{8} në kufizat më të vogla duke zbritur dhe thjeshtuar 4.

$$y=\frac{3}{2}$$

Faktorizo shprehjen origjinale duke përdorur ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Zëvendëso \frac{9}{2} për x_{1} dhe \frac{3}{2} për x_{2}.

$$4y^{2}-24y+27=4\left(y-\frac{9}{2}\right)\left(y-\frac{3}{2}\right)$$

Zbrit \frac{9}{2} nga y duke gjetur një emërues të përbashkët dhe duke zbritur numëruesit. Më pas thjeshto thyesën në kufizat më të vogla nëse është e mundur.

$$4y^{2}-24y+27=4\times \frac{2y-9}{2}\left(y-\frac{3}{2}\right)$$

Zbrit \frac{3}{2} nga y duke gjetur një emërues të përbashkët dhe duke zbritur numëruesit. Më pas thjeshto thyesën në kufizat më të vogla nëse është e mundur.

$$4y^{2}-24y+27=4\times \frac{2y-9}{2}\times \frac{2y-3}{2}$$

Shumëzo \frac{2y-9}{2} herë \frac{2y-3}{2} duke shumëzuar numëruesin herë numëruesin dhe emëruesin herë emëruesin. Më pas thjeshtoje thyesën në kufizat më të vogla nëse është e mundur.

$$4y^{2}-24y+27=4\times \frac{\left(2y-9\right)\left(2y-3\right)}{2\times 2}$$

Shumëzo 2 herë 2.

$$4y^{2}-24y+27=4\times \frac{\left(2y-9\right)\left(2y-3\right)}{4}$$

Thjeshto faktorin më të madh të përbashkët 4 në 4 dhe 4.

$$4y^{2}-24y+27=\left(2y-9\right)\left(2y-3\right)$$

Vlerëso

$$\left(2y-9\right)\left(2y-3\right)$$