Zgjidh 4x^3+x+4x^2-324=0

$$4 x ^ { 3 } + x + 4 x ^ { 2 } - 324 = 0$$

Gjej x (complex solution)

$$x=-\sqrt{14}i-\frac{5}{2}\approx -2.5-3.741657387i$$

$$x=4$$

$$x=-\frac{5}{2}+\sqrt{14}i\approx -2.5+3.741657387i$$

Hapat e zgjidhjes

Risistemo ekuacionin për ta vendosur në formën standarde. Vendosi kufizat të renditura nga fuqia më e madhe tek ajo më e vogël.

$$4x^{3}+4x^{2}+x-324=0$$

Sipas teoremës së rrënjëve racionale, të gjitha rrënjët racionale të një polinomi janë në formën \frac{p}{q}, ku p pjesëtohet me kufizën konstante -324 dhe q pjesëtohet me koeficientin kryesor 4. Lista e të gjithë kandidatëve \frac{p}{q}.

$$±81,±162,±324,±\frac{81}{2},±27,±54,±108,±\frac{81}{4},±\frac{27}{2},±9,±18,±36,±\frac{27}{4},±\frac{9}{2},±3,±6,±12,±\frac{9}{4},±\frac{3}{2},±1,±2,±4,±\frac{3}{4},±\frac{1}{2},±\frac{1}{4}$$

Gjej një rrënjë të tillë duke provuar të gjitha vlerat me numra të plotë, duke filluar nga vlera më e vogël sipas vlerës absolute. Nëse nuk gjendet asnjë rrënjë e plotë, provo thyesat.

$$x=4$$

Sipas teoremës së faktorëve, x-k është një faktor i polinomit për çdo rrënjë k. Pjesëto 4x^{3}+4x^{2}+x-324 me x-4 për të marrë 4x^{2}+20x+81. Zgjidh ekuacionin ku rezultati është i barabartë me 0.

$$4x^{2}+20x+81=0$$

Të gjitha ekuacionet e formës ax^{2}+bx+c=0 mund të zgjidhen duke përdorur formulën e zgjidhjes së ekuacioneve të shkallës së dytë: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Zëvendëso 4 për a, 20 për b dhe 81 për c në formulën e zgjidhjes së ekuacioneve të shkallës së dytë.

$$x=\frac{-20±\sqrt{20^{2}-4\times 4\times 81}}{2\times 4}$$

Bëj llogaritjet.

$$x=\frac{-20±\sqrt{-896}}{8}$$

Zgjidh ekuacionin 4x^{2}+20x+81=0 kur ± është plus dhe kur ± është minus.

$$x=-\sqrt{14}i-\frac{5}{2} x=-\frac{5}{2}+\sqrt{14}i$$

Listo të gjitha zgjidhjet e gjetura.

$$x=4 x=-\sqrt{14}i-\frac{5}{2} x=-\frac{5}{2}+\sqrt{14}i$$

Gjej x

$$x=4$$

Hapat e zgjidhjes

Risistemo ekuacionin për ta vendosur në formën standarde. Vendosi kufizat të renditura nga fuqia më e madhe tek ajo më e vogël.

$$4x^{3}+4x^{2}+x-324=0$$

Sipas teoremës së rrënjëve racionale, të gjitha rrënjët racionale të një polinomi janë në formën \frac{p}{q}, ku p pjesëtohet me kufizën konstante -324 dhe q pjesëtohet me koeficientin kryesor 4. Lista e të gjithë kandidatëve \frac{p}{q}.

$$±81,±162,±324,±\frac{81}{2},±27,±54,±108,±\frac{81}{4},±\frac{27}{2},±9,±18,±36,±\frac{27}{4},±\frac{9}{2},±3,±6,±12,±\frac{9}{4},±\frac{3}{2},±1,±2,±4,±\frac{3}{4},±\frac{1}{2},±\frac{1}{4}$$

Gjej një rrënjë të tillë duke provuar të gjitha vlerat me numra të plotë, duke filluar nga vlera më e vogël sipas vlerës absolute. Nëse nuk gjendet asnjë rrënjë e plotë, provo thyesat.

$$x=4$$

Sipas teoremës së faktorëve, x-k është një faktor i polinomit për çdo rrënjë k. Pjesëto 4x^{3}+4x^{2}+x-324 me x-4 për të marrë 4x^{2}+20x+81. Zgjidh ekuacionin ku rezultati është i barabartë me 0.

$$4x^{2}+20x+81=0$$

Të gjitha ekuacionet e formës ax^{2}+bx+c=0 mund të zgjidhen duke përdorur formulën e zgjidhjes së ekuacioneve të shkallës së dytë: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Zëvendëso 4 për a, 20 për b dhe 81 për c në formulën e zgjidhjes së ekuacioneve të shkallës së dytë.

$$x=\frac{-20±\sqrt{20^{2}-4\times 4\times 81}}{2\times 4}$$

Bëj llogaritjet.

$$x=\frac{-20±\sqrt{-896}}{8}$$

Meqë rrënja katrore e një numri negativ nuk përcaktohet në fushën reale, nuk ka zgjidhje.

$$x\in \emptyset$$

Listo të gjitha zgjidhjet e gjetura.

$$x=4$$