Zgjidh 4x^2-x-5=0

$$4 x ^ { 2 } - x - 5 = 0$$

Gjej x

$$x=-1$$

$$x = \frac{5}{4} = 1\frac{1}{4} = 1.25$$

Hapat që përdorin faktorizimin nëpërmjet grupimit

Për të zgjidhur ekuacionin, faktorizo anën e majtë nëpërmjet grupimit. Së pari, ana e majtë duhet të rishkruhet si 4x^{2}+ax+bx-5. Për të gjetur a dhe b, parametrizo një sistem për ta zgjidhur.

$$a+b=-1 ab=4\left(-5\right)=-20$$

Meqenëse ab është negative, a dhe b kanë shenja të kundërta. Meqenëse a+b është negative, numri negativ ka vlerë absolute më të madhe se ai pozitiv. Listo të gjitha këto çifte numrash të plotë që japin prodhimin -20.

$$1,-20 2,-10 4,-5$$

Llogarit shumën për çdo çift.

$$1-20=-19 2-10=-8 4-5=-1$$

Zgjidhja është çifti që jep shumën -1.

$$a=-5 b=4$$

Rishkruaj 4x^{2}-x-5 si \left(4x^{2}-5x\right)+\left(4x-5\right).

$$\left(4x^{2}-5x\right)+\left(4x-5\right)$$

Faktorizo x në 4x^{2}-5x.

$$x\left(4x-5\right)+4x-5$$

Faktorizo pjesëtuesin e përbashkët 4x-5 duke përdorur vetinë e shpërndarjes.

$$\left(4x-5\right)\left(x+1\right)$$

Për të gjetur zgjidhjet e ekuacionit, zgjidh 4x-5=0 dhe x+1=0.

$$x=\frac{5}{4} x=-1$$

Hapat që përdorin formulën e zgjidhjes së ekuacioneve të shkallës së dytë

Të gjitha ekuacionet e formës ax^{2}+bx+c=0 mund të zgjidhen duke përdorur formulën e zgjidhjes së ekuacioneve të shkallës së dytë: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula e zgjidhjes së ekuacioneve të shkallës së dytë jep dy zgjidhje, një kur ± është mbledhje dhe një kur është zbritje.

$$4x^{2}-x-5=0$$

Ky ekuacion është në formën standarde: ax^{2}+bx+c=0. Zëvendëso a me 4, b me -1 dhe c me -5 në formulën e zgjidhjes së ekuacioneve të shkallës së dytë, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-4\times 4\left(-5\right)}}{2\times 4}$$

Shumëzo -4 herë 4.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-16\left(-5\right)}}{2\times 4}$$

Shumëzo -16 herë -5.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1+80}}{2\times 4}$$

Mblidh 1 me 80.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{81}}{2\times 4}$$

Gjej rrënjën katrore të 81.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±9}{2\times 4}$$

E kundërta e -1 është 1.

$$x=\frac{1±9}{2\times 4}$$

Shumëzo 2 herë 4.

$$x=\frac{1±9}{8}$$

Tani zgjidhe ekuacionin x=\frac{1±9}{8} kur ± është plus. Mblidh 1 me 9.

$$x=\frac{10}{8}$$

Thjeshto thyesën \frac{10}{8} në kufizat më të vogla duke zbritur dhe thjeshtuar 2.

$$x=\frac{5}{4}$$

Tani zgjidhe ekuacionin x=\frac{1±9}{8} kur ± është minus. Zbrit 9 nga 1.

$$x=-\frac{8}{8}$$

Pjesëto -8 me 8.

$$x=-1$$

Ekuacioni është zgjidhur tani.

$$x=\frac{5}{4} x=-1$$

Hapat për plotësimin e katrorit

Ekuacionet e shkallës së dytë si ky mund të zgjidhen duke plotësuar katrorin. Për të plotësuar katrorin, ekuacioni duhet të jetë në fillim në formën x^{2}+bx=c.

$$4x^{2}-x-5=0$$

Mblidh 5 në të dyja anët e ekuacionit.

$$4x^{2}-x-5-\left(-5\right)=-\left(-5\right)$$

Zbritja e -5 nga vetja e tij jep 0.

$$4x^{2}-x=-\left(-5\right)$$

Zbrit -5 nga 0.

$$4x^{2}-x=5$$

Pjesëto të dyja anët me 4.

$$\frac{4x^{2}-x}{4}=\frac{5}{4}$$

Pjesëtimi me 4 zhbën shumëzimin me 4.

$$x^{2}-\frac{1}{4}x=\frac{5}{4}$$

Pjesëto -\frac{1}{4}, koeficientin e kufizës x, me 2 për të marrë -\frac{1}{8}. Më pas mblidh katrorin e -\frac{1}{8} në të dyja anët e ekuacionit. Ky hap e bën anën e majtë të ekuacionit një katror të përsosur.

$$x^{2}-\frac{1}{4}x+\left(-\frac{1}{8}\right)^{2}=\frac{5}{4}+\left(-\frac{1}{8}\right)^{2}$$

Ngri në fuqi të dytë -\frac{1}{8} duke ngritur në fuqi të dytë që të dy, numëruesin dhe emëruesin e thyesës.

$$x^{2}-\frac{1}{4}x+\frac{1}{64}=\frac{5}{4}+\frac{1}{64}$$

Mblidh \frac{5}{4} me \frac{1}{64} duke gjetur një emërues të përbashkët dhe duke mbledhur numëruesit. Pastaj zvogëlo thyesën në kufizat më të vogla nëse është e mundur.

$$x^{2}-\frac{1}{4}x+\frac{1}{64}=\frac{81}{64}$$

Faktori x^{2}-\frac{1}{4}x+\frac{1}{64}. Në përgjithësi, kur x^{2}+bx+c është një katror perfekt, mund të faktorizohet gjithmonë si \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{8}\right)^{2}=\frac{81}{64}$$

Gjej rrënjën katrore të të dyja anëve të ekuacionit.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{8}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{81}{64}}$$

Thjeshto.

$$x-\frac{1}{8}=\frac{9}{8} x-\frac{1}{8}=-\frac{9}{8}$$

Mblidh \frac{1}{8} në të dyja anët e ekuacionit.

$$x=\frac{5}{4} x=-1$$