Zgjidh 4x^2-7x+3=0

$$4 x ^ { 2 } - 7 x + 3 = 0$$

Gjej x

$$x=1$$

$$x=\frac{3}{4}=0.75$$

Hapat që përdorin faktorizimin nëpërmjet grupimit

Për të zgjidhur ekuacionin, faktorizo anën e majtë nëpërmjet grupimit. Së pari, ana e majtë duhet të rishkruhet si 4x^{2}+ax+bx+3. Për të gjetur a dhe b, parametrizo një sistem për ta zgjidhur.

$$a+b=-7 ab=4\times 3=12$$

Meqenëse ab është pozitive, a dhe b kanë shenjë të njëjtë. Meqenëse a+b është negative, a dhe b janë të dyja negative. Listo të gjitha këto çifte numrash të plotë që japin prodhimin 12.

$$-1,-12 -2,-6 -3,-4$$

Llogarit shumën për çdo çift.

$$-1-12=-13 -2-6=-8 -3-4=-7$$

Zgjidhja është çifti që jep shumën -7.

$$a=-4 b=-3$$

Rishkruaj 4x^{2}-7x+3 si \left(4x^{2}-4x\right)+\left(-3x+3\right).

$$\left(4x^{2}-4x\right)+\left(-3x+3\right)$$

Faktorizo 4x në grupin e parë dhe -3 në të dytin.

$$4x\left(x-1\right)-3\left(x-1\right)$$

Faktorizo pjesëtuesin e përbashkët x-1 duke përdorur vetinë e shpërndarjes.

$$\left(x-1\right)\left(4x-3\right)$$

Për të gjetur zgjidhjet e ekuacionit, zgjidh x-1=0 dhe 4x-3=0.

$$x=1 x=\frac{3}{4}$$

Hapat që përdorin formulën e zgjidhjes së ekuacioneve të shkallës së dytë

Të gjitha ekuacionet e formës ax^{2}+bx+c=0 mund të zgjidhen duke përdorur formulën e zgjidhjes së ekuacioneve të shkallës së dytë: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula e zgjidhjes së ekuacioneve të shkallës së dytë jep dy zgjidhje, një kur ± është mbledhje dhe një kur është zbritje.

$$4x^{2}-7x+3=0$$

Ky ekuacion është në formën standarde: ax^{2}+bx+c=0. Zëvendëso a me 4, b me -7 dhe c me 3 në formulën e zgjidhjes së ekuacioneve të shkallës së dytë, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{\left(-7\right)^{2}-4\times 4\times 3}}{2\times 4}$$

Ngri në fuqi të dytë -7.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-4\times 4\times 3}}{2\times 4}$$

Shumëzo -4 herë 4.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-16\times 3}}{2\times 4}$$

Shumëzo -16 herë 3.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-48}}{2\times 4}$$

Mblidh 49 me -48.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{1}}{2\times 4}$$

Gjej rrënjën katrore të 1.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±1}{2\times 4}$$

E kundërta e -7 është 7.

$$x=\frac{7±1}{2\times 4}$$

Shumëzo 2 herë 4.

$$x=\frac{7±1}{8}$$

Tani zgjidhe ekuacionin x=\frac{7±1}{8} kur ± është plus. Mblidh 7 me 1.

$$x=\frac{8}{8}$$

Pjesëto 8 me 8.

$$x=1$$

Tani zgjidhe ekuacionin x=\frac{7±1}{8} kur ± është minus. Zbrit 1 nga 7.

$$x=\frac{6}{8}$$

Thjeshto thyesën \frac{6}{8} në kufizat më të vogla duke zbritur dhe thjeshtuar 2.

$$x=\frac{3}{4}$$

Ekuacioni është zgjidhur tani.

$$x=1 x=\frac{3}{4}$$

Hapat për plotësimin e katrorit

Ekuacionet e shkallës së dytë si ky mund të zgjidhen duke plotësuar katrorin. Për të plotësuar katrorin, ekuacioni duhet të jetë në fillim në formën x^{2}+bx=c.

$$4x^{2}-7x+3=0$$

Zbrit 3 nga të dyja anët e ekuacionit.

$$4x^{2}-7x+3-3=-3$$

Zbritja e 3 nga vetja e tij jep 0.

$$4x^{2}-7x=-3$$

Pjesëto të dyja anët me 4.

$$\frac{4x^{2}-7x}{4}=-\frac{3}{4}$$

Pjesëtimi me 4 zhbën shumëzimin me 4.

$$x^{2}-\frac{7}{4}x=-\frac{3}{4}$$

Pjesëto -\frac{7}{4}, koeficientin e kufizës x, me 2 për të marrë -\frac{7}{8}. Më pas mblidh katrorin e -\frac{7}{8} në të dyja anët e ekuacionit. Ky hap e bën anën e majtë të ekuacionit një katror të përsosur.

$$x^{2}-\frac{7}{4}x+\left(-\frac{7}{8}\right)^{2}=-\frac{3}{4}+\left(-\frac{7}{8}\right)^{2}$$

Ngri në fuqi të dytë -\frac{7}{8} duke ngritur në fuqi të dytë që të dy, numëruesin dhe emëruesin e thyesës.

$$x^{2}-\frac{7}{4}x+\frac{49}{64}=-\frac{3}{4}+\frac{49}{64}$$

Mblidh -\frac{3}{4} me \frac{49}{64} duke gjetur një emërues të përbashkët dhe duke mbledhur numëruesit. Pastaj zvogëlo thyesën në kufizat më të vogla nëse është e mundur.

$$x^{2}-\frac{7}{4}x+\frac{49}{64}=\frac{1}{64}$$

Faktori x^{2}-\frac{7}{4}x+\frac{49}{64}. Në përgjithësi, kur x^{2}+bx+c është një katror i përsosur, ai mund të faktorizohet gjithmonë si \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{7}{8}\right)^{2}=\frac{1}{64}$$

Gjej rrënjën katrore të të dyja anëve të ekuacionit.

$$\sqrt{\left(x-\frac{7}{8}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1}{64}}$$

Thjeshto.

$$x-\frac{7}{8}=\frac{1}{8} x-\frac{7}{8}=-\frac{1}{8}$$

Mblidh \frac{7}{8} në të dyja anët e ekuacionit.

$$x=1 x=\frac{3}{4}$$