Zgjidh 4x^2-5x+1=0

$$4 x ^ { 2 } - 5 x + 1 = 0$$

Gjej x

$$x=\frac{1}{4}=0.25$$

$$x=1$$

Hapat që përdorin faktorizimin nëpërmjet grupimit

Për të zgjidhur ekuacionin, faktorizo anën e majtë nëpërmjet grupimit. Së pari, ana e majtë duhet të rishkruhet si 4x^{2}+ax+bx+1. Për të gjetur a dhe b, parametrizo një sistem për ta zgjidhur.

$$a+b=-5 ab=4\times 1=4$$

Meqenëse ab është pozitive, a dhe b kanë shenjë të njëjtë. Meqenëse a+b është negative, a dhe b janë të dyja negative. Listo të gjitha këto çifte numrash të plotë që japin prodhimin 4.

$$-1,-4 -2,-2$$

Llogarit shumën për çdo çift.

$$-1-4=-5 -2-2=-4$$

Zgjidhja është çifti që jep shumën -5.

$$a=-4 b=-1$$

Rishkruaj 4x^{2}-5x+1 si \left(4x^{2}-4x\right)+\left(-x+1\right).

$$\left(4x^{2}-4x\right)+\left(-x+1\right)$$

Faktorizo 4x në grupin e parë dhe -1 në të dytin.

$$4x\left(x-1\right)-\left(x-1\right)$$

Faktorizo pjesëtuesin e përbashkët x-1 duke përdorur vetinë e shpërndarjes.

$$\left(x-1\right)\left(4x-1\right)$$

Për të gjetur zgjidhjet e ekuacionit, zgjidh x-1=0 dhe 4x-1=0.

$$x=1 x=\frac{1}{4}$$

Hapat që përdorin formulën e zgjidhjes së ekuacioneve të shkallës së dytë

Të gjitha ekuacionet e formës ax^{2}+bx+c=0 mund të zgjidhen duke përdorur formulën e zgjidhjes së ekuacioneve të shkallës së dytë: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula e zgjidhjes së ekuacioneve të shkallës së dytë jep dy zgjidhje, një kur ± është mbledhje dhe një kur është zbritje.

$$4x^{2}-5x+1=0$$

Ky ekuacion është në formën standarde: ax^{2}+bx+c=0. Zëvendëso a me 4, b me -5 dhe c me 1 në formulën e zgjidhjes së ekuacioneve të shkallës së dytë, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{\left(-5\right)^{2}-4\times 4}}{2\times 4}$$

Ngri në fuqi të dytë -5.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-4\times 4}}{2\times 4}$$

Shumëzo -4 herë 4.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-16}}{2\times 4}$$

Mblidh 25 me -16.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{9}}{2\times 4}$$

Gjej rrënjën katrore të 9.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±3}{2\times 4}$$

E kundërta e -5 është 5.

$$x=\frac{5±3}{2\times 4}$$

Shumëzo 2 herë 4.

$$x=\frac{5±3}{8}$$

Tani zgjidhe ekuacionin x=\frac{5±3}{8} kur ± është plus. Mblidh 5 me 3.

$$x=\frac{8}{8}$$

Pjesëto 8 me 8.

$$x=1$$

Tani zgjidhe ekuacionin x=\frac{5±3}{8} kur ± është minus. Zbrit 3 nga 5.

$$x=\frac{2}{8}$$

Thjeshto thyesën \frac{2}{8} në kufizat më të vogla duke zbritur dhe thjeshtuar 2.

$$x=\frac{1}{4}$$

Ekuacioni është zgjidhur tani.

$$x=1 x=\frac{1}{4}$$

Hapat për plotësimin e katrorit

Ekuacionet e shkallës së dytë si ky mund të zgjidhen duke plotësuar katrorin. Për të plotësuar katrorin, ekuacioni duhet të jetë në fillim në formën x^{2}+bx=c.

$$4x^{2}-5x+1=0$$

Zbrit 1 nga të dyja anët e ekuacionit.

$$4x^{2}-5x+1-1=-1$$

Zbritja e 1 nga vetja e tij jep 0.

$$4x^{2}-5x=-1$$

Pjesëto të dyja anët me 4.

$$\frac{4x^{2}-5x}{4}=-\frac{1}{4}$$

Pjesëtimi me 4 zhbën shumëzimin me 4.

$$x^{2}-\frac{5}{4}x=-\frac{1}{4}$$

Pjesëto -\frac{5}{4}, koeficientin e kufizës x, me 2 për të marrë -\frac{5}{8}. Më pas mblidh katrorin e -\frac{5}{8} në të dyja anët e ekuacionit. Ky hap e bën anën e majtë të ekuacionit një katror të përsosur.

$$x^{2}-\frac{5}{4}x+\left(-\frac{5}{8}\right)^{2}=-\frac{1}{4}+\left(-\frac{5}{8}\right)^{2}$$

Ngri në fuqi të dytë -\frac{5}{8} duke ngritur në fuqi të dytë që të dy, numëruesin dhe emëruesin e thyesës.

$$x^{2}-\frac{5}{4}x+\frac{25}{64}=-\frac{1}{4}+\frac{25}{64}$$

Mblidh -\frac{1}{4} me \frac{25}{64} duke gjetur një emërues të përbashkët dhe duke mbledhur numëruesit. Pastaj zvogëlo thyesën në kufizat më të vogla nëse është e mundur.

$$x^{2}-\frac{5}{4}x+\frac{25}{64}=\frac{9}{64}$$

Faktori x^{2}-\frac{5}{4}x+\frac{25}{64}. Në përgjithësi, kur x^{2}+bx+c është një katror perfekt, mund të faktorizohet gjithmonë si \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{5}{8}\right)^{2}=\frac{9}{64}$$

Gjej rrënjën katrore të të dyja anëve të ekuacionit.

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{8}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{9}{64}}$$

Thjeshto.

$$x-\frac{5}{8}=\frac{3}{8} x-\frac{5}{8}=-\frac{3}{8}$$

Mblidh \frac{5}{8} në të dyja anët e ekuacionit.

$$x=1 x=\frac{1}{4}$$