Zgjidh 4x^2-4x+1=0

$$4 x ^ { 2 } - 4 x + 1 = 0$$

Gjej x

$$x=\frac{1}{2}=0.5$$

Hapat që përdorin faktorizimin nëpërmjet grupimit

Për të zgjidhur ekuacionin, faktorizo anën e majtë nëpërmjet grupimit. Së pari, ana e majtë duhet të rishkruhet si 4x^{2}+ax+bx+1. Për të gjetur a dhe b, parametrizo një sistem për ta zgjidhur.

$$a+b=-4 ab=4\times 1=4$$

Meqenëse ab është pozitive, a dhe b kanë shenjë të njëjtë. Meqenëse a+b është negative, a dhe b janë të dyja negative. Listo të gjitha këto çifte numrash të plotë që japin prodhimin 4.

$$-1,-4 -2,-2$$

Llogarit shumën për çdo çift.

$$-1-4=-5 -2-2=-4$$

Zgjidhja është çifti që jep shumën -4.

$$a=-2 b=-2$$

Rishkruaj 4x^{2}-4x+1 si \left(4x^{2}-2x\right)+\left(-2x+1\right).

$$\left(4x^{2}-2x\right)+\left(-2x+1\right)$$

Faktorizo 2x në grupin e parë dhe -1 në të dytin.

$$2x\left(2x-1\right)-\left(2x-1\right)$$

Faktorizo pjesëtuesin e përbashkët 2x-1 duke përdorur vetinë e shpërndarjes.

$$\left(2x-1\right)\left(2x-1\right)$$

Rishkruaj si një katror binomi.

$$\left(2x-1\right)^{2}$$

Për të gjetur zgjidhjen e ekuacionit, zgjidh 2x-1=0.

$$x=\frac{1}{2}$$

Hapat që përdorin formulën e zgjidhjes së ekuacioneve të shkallës së dytë

Të gjitha ekuacionet e formës ax^{2}+bx+c=0 mund të zgjidhen duke përdorur formulën e zgjidhjes së ekuacioneve të shkallës së dytë: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula e zgjidhjes së ekuacioneve të shkallës së dytë jep dy zgjidhje, një kur ± është mbledhje dhe një kur është zbritje.

$$4x^{2}-4x+1=0$$

Ky ekuacion është në formën standarde: ax^{2}+bx+c=0. Zëvendëso a me 4, b me -4 dhe c me 1 në formulën e zgjidhjes së ekuacioneve të shkallës së dytë, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{\left(-4\right)^{2}-4\times 4}}{2\times 4}$$

Ngri në fuqi të dytë -4.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-4\times 4}}{2\times 4}$$

Shumëzo -4 herë 4.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-16}}{2\times 4}$$

Mblidh 16 me -16.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{0}}{2\times 4}$$

Gjej rrënjën katrore të 0.

$$x=-\frac{-4}{2\times 4}$$

E kundërta e -4 është 4.

$$x=\frac{4}{2\times 4}$$

Shumëzo 2 herë 4.

$$x=\frac{4}{8}$$

Thjeshto thyesën \frac{4}{8} në kufizat më të vogla duke zbritur dhe thjeshtuar 4.

$$x=\frac{1}{2}$$

Hapat për plotësimin e katrorit

Ekuacionet e shkallës së dytë si ky mund të zgjidhen duke plotësuar katrorin. Për të plotësuar katrorin, ekuacioni duhet të jetë në fillim në formën x^{2}+bx=c.

$$4x^{2}-4x+1=0$$

Zbrit 1 nga të dyja anët e ekuacionit.

$$4x^{2}-4x+1-1=-1$$

Zbritja e 1 nga vetja e tij jep 0.

$$4x^{2}-4x=-1$$

Pjesëto të dyja anët me 4.

$$\frac{4x^{2}-4x}{4}=-\frac{1}{4}$$

Pjesëtimi me 4 zhbën shumëzimin me 4.

$$x^{2}+\left(-\frac{4}{4}\right)x=-\frac{1}{4}$$

Pjesëto -4 me 4.

$$x^{2}-x=-\frac{1}{4}$$

Pjesëto -1, koeficientin e kufizës x, me 2 për të marrë -\frac{1}{2}. Më pas mblidh katrorin e -\frac{1}{2} në të dyja anët e ekuacionit. Ky hap e bën anën e majtë të ekuacionit një katror të përsosur.

$$x^{2}-x+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}=-\frac{1}{4}+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Ngri në fuqi të dytë -\frac{1}{2} duke ngritur në fuqi të dytë që të dy, numëruesin dhe emëruesin e thyesës.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=\frac{-1+1}{4}$$

Mblidh -\frac{1}{4} me \frac{1}{4} duke gjetur një emërues të përbashkët dhe duke mbledhur numëruesit. Pastaj zvogëlo thyesën në kufizat më të vogla nëse është e mundur.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=0$$

Faktori x^{2}-x+\frac{1}{4}. Në përgjithësi, kur x^{2}+bx+c është një katror perfekt, mund të faktorizohet gjithmonë si \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}=0$$

Gjej rrënjën katrore të të dyja anëve të ekuacionit.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{0}$$

Thjeshto.

$$x-\frac{1}{2}=0 x-\frac{1}{2}=0$$

Mblidh \frac{1}{2} në të dyja anët e ekuacionit.

$$x=\frac{1}{2} x=\frac{1}{2}$$

Ekuacioni është zgjidhur tani. Zgjidhjet janë njëlloj.

$$x=\frac{1}{2}$$