Zgjidh 4x^2-20x-11=0

$$4 x ^ { 2 } - 20 x - 11 = 0$$

Gjej x

$$x=-\frac{1}{2}=-0.5$$

$$x = \frac{11}{2} = 5\frac{1}{2} = 5.5$$

Hapat që përdorin faktorizimin nëpërmjet grupimit

Për të zgjidhur ekuacionin, faktorizo anën e majtë nëpërmjet grupimit. Së pari, ana e majtë duhet të rishkruhet si 4x^{2}+ax+bx-11. Për të gjetur a dhe b, parametrizo një sistem për ta zgjidhur.

$$a+b=-20 ab=4\left(-11\right)=-44$$

Meqenëse ab është negative, a dhe b kanë shenja të kundërta. Meqenëse a+b është negative, numri negativ ka vlerë absolute më të madhe se ai pozitiv. Listo të gjitha këto çifte numrash të plotë që japin prodhimin -44.

$$1,-44 2,-22 4,-11$$

Llogarit shumën për çdo çift.

$$1-44=-43 2-22=-20 4-11=-7$$

Zgjidhja është çifti që jep shumën -20.

$$a=-22 b=2$$

Rishkruaj 4x^{2}-20x-11 si \left(4x^{2}-22x\right)+\left(2x-11\right).

$$\left(4x^{2}-22x\right)+\left(2x-11\right)$$

Faktorizo 2x në 4x^{2}-22x.

$$2x\left(2x-11\right)+2x-11$$

Faktorizo pjesëtuesin e përbashkët 2x-11 duke përdorur vetinë e shpërndarjes.

$$\left(2x-11\right)\left(2x+1\right)$$

Për të gjetur zgjidhjet e ekuacionit, zgjidh 2x-11=0 dhe 2x+1=0.

$$x=\frac{11}{2} x=-\frac{1}{2}$$

Hapat që përdorin formulën e zgjidhjes së ekuacioneve të shkallës së dytë

Të gjitha ekuacionet e formës ax^{2}+bx+c=0 mund të zgjidhen duke përdorur formulën e zgjidhjes së ekuacioneve të shkallës së dytë: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula e zgjidhjes së ekuacioneve të shkallës së dytë jep dy zgjidhje, një kur ± është mbledhje dhe një kur është zbritje.

$$4x^{2}-20x-11=0$$

Ky ekuacion është në formën standarde: ax^{2}+bx+c=0. Zëvendëso a me 4, b me -20 dhe c me -11 në formulën e zgjidhjes së ekuacioneve të shkallës së dytë, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-20\right)±\sqrt{\left(-20\right)^{2}-4\times 4\left(-11\right)}}{2\times 4}$$

Ngri në fuqi të dytë -20.

$$x=\frac{-\left(-20\right)±\sqrt{400-4\times 4\left(-11\right)}}{2\times 4}$$

Shumëzo -4 herë 4.

$$x=\frac{-\left(-20\right)±\sqrt{400-16\left(-11\right)}}{2\times 4}$$

Shumëzo -16 herë -11.

$$x=\frac{-\left(-20\right)±\sqrt{400+176}}{2\times 4}$$

Mblidh 400 me 176.

$$x=\frac{-\left(-20\right)±\sqrt{576}}{2\times 4}$$

Gjej rrënjën katrore të 576.

$$x=\frac{-\left(-20\right)±24}{2\times 4}$$

E kundërta e -20 është 20.

$$x=\frac{20±24}{2\times 4}$$

Shumëzo 2 herë 4.

$$x=\frac{20±24}{8}$$

Tani zgjidhe ekuacionin x=\frac{20±24}{8} kur ± është plus. Mblidh 20 me 24.

$$x=\frac{44}{8}$$

Thjeshto thyesën \frac{44}{8} në kufizat më të vogla duke zbritur dhe thjeshtuar 4.

$$x=\frac{11}{2}$$

Tani zgjidhe ekuacionin x=\frac{20±24}{8} kur ± është minus. Zbrit 24 nga 20.

$$x=-\frac{4}{8}$$

Thjeshto thyesën \frac{-4}{8} në kufizat më të vogla duke zbritur dhe thjeshtuar 4.

$$x=-\frac{1}{2}$$

Ekuacioni është zgjidhur tani.

$$x=\frac{11}{2} x=-\frac{1}{2}$$

Hapat për plotësimin e katrorit

Ekuacionet e shkallës së dytë si ky mund të zgjidhen duke plotësuar katrorin. Për të plotësuar katrorin, ekuacioni duhet të jetë në fillim në formën x^{2}+bx=c.

$$4x^{2}-20x-11=0$$

Mblidh 11 në të dyja anët e ekuacionit.

$$4x^{2}-20x-11-\left(-11\right)=-\left(-11\right)$$

Zbritja e -11 nga vetja e tij jep 0.

$$4x^{2}-20x=-\left(-11\right)$$

Zbrit -11 nga 0.

$$4x^{2}-20x=11$$

Pjesëto të dyja anët me 4.

$$\frac{4x^{2}-20x}{4}=\frac{11}{4}$$

Pjesëtimi me 4 zhbën shumëzimin me 4.

$$x^{2}+\left(-\frac{20}{4}\right)x=\frac{11}{4}$$

Pjesëto -20 me 4.

$$x^{2}-5x=\frac{11}{4}$$

Pjesëto -5, koeficientin e kufizës x, me 2 për të marrë -\frac{5}{2}. Më pas mblidh katrorin e -\frac{5}{2} në të dyja anët e ekuacionit. Ky hap e bën anën e majtë të ekuacionit një katror të përsosur.

$$x^{2}-5x+\left(-\frac{5}{2}\right)^{2}=\frac{11}{4}+\left(-\frac{5}{2}\right)^{2}$$

Ngri në fuqi të dytë -\frac{5}{2} duke ngritur në fuqi të dytë që të dy, numëruesin dhe emëruesin e thyesës.

$$x^{2}-5x+\frac{25}{4}=\frac{11+25}{4}$$

Mblidh \frac{11}{4} me \frac{25}{4} duke gjetur një emërues të përbashkët dhe duke mbledhur numëruesit. Pastaj zvogëlo thyesën në kufizat më të vogla nëse është e mundur.

$$x^{2}-5x+\frac{25}{4}=9$$

Faktori x^{2}-5x+\frac{25}{4}. Në përgjithësi, kur x^{2}+bx+c është një katror perfekt, mund të faktorizohet gjithmonë si \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{5}{2}\right)^{2}=9$$

Gjej rrënjën katrore të të dyja anëve të ekuacionit.

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{2}\right)^{2}}=\sqrt{9}$$

Thjeshto.

$$x-\frac{5}{2}=3 x-\frac{5}{2}=-3$$

Mblidh \frac{5}{2} në të dyja anët e ekuacionit.

$$x=\frac{11}{2} x=-\frac{1}{2}$$