Zgjidh 4x^2-12x-27=0

$$4 x ^ { 2 } - 12 x - 27 = 0$$

Gjej x

$$x = -\frac{3}{2} = -1\frac{1}{2} = -1.5$$

$$x = \frac{9}{2} = 4\frac{1}{2} = 4.5$$

Hapat që përdorin faktorizimin nëpërmjet grupimit

Për të zgjidhur ekuacionin, faktorizo anën e majtë nëpërmjet grupimit. Së pari, ana e majtë duhet të rishkruhet si 4x^{2}+ax+bx-27. Për të gjetur a dhe b, parametrizo një sistem për ta zgjidhur.

$$a+b=-12 ab=4\left(-27\right)=-108$$

Meqenëse ab është negative, a dhe b kanë shenja të kundërta. Meqenëse a+b është negative, numri negativ ka vlerë absolute më të madhe se ai pozitiv. Listo të gjitha këto çifte numrash të plotë që japin prodhimin -108.

$$1,-108 2,-54 3,-36 4,-27 6,-18 9,-12$$

Llogarit shumën për çdo çift.

$$1-108=-107 2-54=-52 3-36=-33 4-27=-23 6-18=-12 9-12=-3$$

Zgjidhja është çifti që jep shumën -12.

$$a=-18 b=6$$

Rishkruaj 4x^{2}-12x-27 si \left(4x^{2}-18x\right)+\left(6x-27\right).

$$\left(4x^{2}-18x\right)+\left(6x-27\right)$$

Faktorizo 2x në grupin e parë dhe 3 në të dytin.

$$2x\left(2x-9\right)+3\left(2x-9\right)$$

Faktorizo pjesëtuesin e përbashkët 2x-9 duke përdorur vetinë e shpërndarjes.

$$\left(2x-9\right)\left(2x+3\right)$$

Për të gjetur zgjidhjet e ekuacionit, zgjidh 2x-9=0 dhe 2x+3=0.

$$x=\frac{9}{2} x=-\frac{3}{2}$$

Hapat që përdorin formulën e zgjidhjes së ekuacioneve të shkallës së dytë

Të gjitha ekuacionet e formës ax^{2}+bx+c=0 mund të zgjidhen duke përdorur formulën e zgjidhjes së ekuacioneve të shkallës së dytë: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula e zgjidhjes së ekuacioneve të shkallës së dytë jep dy zgjidhje, një kur ± është mbledhje dhe një kur është zbritje.

$$4x^{2}-12x-27=0$$

Ky ekuacion është në formën standarde: ax^{2}+bx+c=0. Zëvendëso a me 4, b me -12 dhe c me -27 në formulën e zgjidhjes së ekuacioneve të shkallës së dytë, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{\left(-12\right)^{2}-4\times 4\left(-27\right)}}{2\times 4}$$

Ngri në fuqi të dytë -12.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-4\times 4\left(-27\right)}}{2\times 4}$$

Shumëzo -4 herë 4.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-16\left(-27\right)}}{2\times 4}$$

Shumëzo -16 herë -27.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144+432}}{2\times 4}$$

Mblidh 144 me 432.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{576}}{2\times 4}$$

Gjej rrënjën katrore të 576.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±24}{2\times 4}$$

E kundërta e -12 është 12.

$$x=\frac{12±24}{2\times 4}$$

Shumëzo 2 herë 4.

$$x=\frac{12±24}{8}$$

Tani zgjidhe ekuacionin x=\frac{12±24}{8} kur ± është plus. Mblidh 12 me 24.

$$x=\frac{36}{8}$$

Thjeshto thyesën \frac{36}{8} në kufizat më të vogla duke zbritur dhe thjeshtuar 4.

$$x=\frac{9}{2}$$

Tani zgjidhe ekuacionin x=\frac{12±24}{8} kur ± është minus. Zbrit 24 nga 12.

$$x=-\frac{12}{8}$$

Thjeshto thyesën \frac{-12}{8} në kufizat më të vogla duke zbritur dhe thjeshtuar 4.

$$x=-\frac{3}{2}$$

Ekuacioni është zgjidhur tani.

$$x=\frac{9}{2} x=-\frac{3}{2}$$

Hapat për plotësimin e katrorit

Ekuacionet e shkallës së dytë si ky mund të zgjidhen duke plotësuar katrorin. Për të plotësuar katrorin, ekuacioni duhet të jetë në fillim në formën x^{2}+bx=c.

$$4x^{2}-12x-27=0$$

Mblidh 27 në të dyja anët e ekuacionit.

$$4x^{2}-12x-27-\left(-27\right)=-\left(-27\right)$$

Zbritja e -27 nga vetja e tij jep 0.

$$4x^{2}-12x=-\left(-27\right)$$

Zbrit -27 nga 0.

$$4x^{2}-12x=27$$

Pjesëto të dyja anët me 4.

$$\frac{4x^{2}-12x}{4}=\frac{27}{4}$$

Pjesëtimi me 4 zhbën shumëzimin me 4.

$$x^{2}+\left(-\frac{12}{4}\right)x=\frac{27}{4}$$

Pjesëto -12 me 4.

$$x^{2}-3x=\frac{27}{4}$$

Pjesëto -3, koeficientin e kufizës x, me 2 për të marrë -\frac{3}{2}. Më pas mblidh katrorin e -\frac{3}{2} në të dyja anët e ekuacionit. Ky hap e bën anën e majtë të ekuacionit një katror të përsosur.

$$x^{2}-3x+\left(-\frac{3}{2}\right)^{2}=\frac{27}{4}+\left(-\frac{3}{2}\right)^{2}$$

Ngri në fuqi të dytë -\frac{3}{2} duke ngritur në fuqi të dytë që të dy, numëruesin dhe emëruesin e thyesës.

$$x^{2}-3x+\frac{9}{4}=\frac{27+9}{4}$$

Mblidh \frac{27}{4} me \frac{9}{4} duke gjetur një emërues të përbashkët dhe duke mbledhur numëruesit. Pastaj zvogëlo thyesën në kufizat më të vogla nëse është e mundur.

$$x^{2}-3x+\frac{9}{4}=9$$

Faktori x^{2}-3x+\frac{9}{4}. Në përgjithësi, kur x^{2}+bx+c është një katror perfekt, mund të faktorizohet gjithmonë si \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{3}{2}\right)^{2}=9$$

Gjej rrënjën katrore të të dyja anëve të ekuacionit.

$$\sqrt{\left(x-\frac{3}{2}\right)^{2}}=\sqrt{9}$$

Thjeshto.

$$x-\frac{3}{2}=3 x-\frac{3}{2}=-3$$

Mblidh \frac{3}{2} në të dyja anët e ekuacionit.

$$x=\frac{9}{2} x=-\frac{3}{2}$$