Zgjidh 4x^2+48x-81=0

$$4 x ^ { 2 } + 48 x - 81 = 0$$

Gjej x

$$x = -\frac{27}{2} = -13\frac{1}{2} = -13.5$$

$$x = \frac{3}{2} = 1\frac{1}{2} = 1.5$$

Hapat që përdorin faktorizimin nëpërmjet grupimit

Për të zgjidhur ekuacionin, faktorizo anën e majtë nëpërmjet grupimit. Së pari, ana e majtë duhet të rishkruhet si 4x^{2}+ax+bx-81. Për të gjetur a dhe b, parametrizo një sistem për ta zgjidhur.

$$a+b=48 ab=4\left(-81\right)=-324$$

Meqenëse ab është negative, a dhe b kanë shenja të kundërta. Meqenëse a+b është pozitive, numri pozitiv ka vlerë absolute më të madhe se ai negativ. Listo të gjitha këto çifte numrash të plotë që japin prodhimin -324.

$$-1,324 -2,162 -3,108 -4,81 -6,54 -9,36 -12,27 -18,18$$

Llogarit shumën për çdo çift.

$$-1+324=323 -2+162=160 -3+108=105 -4+81=77 -6+54=48 -9+36=27 -12+27=15 -18+18=0$$

Zgjidhja është çifti që jep shumën 48.

$$a=-6 b=54$$

Rishkruaj 4x^{2}+48x-81 si \left(4x^{2}-6x\right)+\left(54x-81\right).

$$\left(4x^{2}-6x\right)+\left(54x-81\right)$$

Faktorizo 2x në grupin e parë dhe 27 në të dytin.

$$2x\left(2x-3\right)+27\left(2x-3\right)$$

Faktorizo pjesëtuesin e përbashkët 2x-3 duke përdorur vetinë e shpërndarjes.

$$\left(2x-3\right)\left(2x+27\right)$$

Për të gjetur zgjidhjet e ekuacionit, zgjidh 2x-3=0 dhe 2x+27=0.

$$x=\frac{3}{2} x=-\frac{27}{2}$$

Hapat që përdorin formulën e zgjidhjes së ekuacioneve të shkallës së dytë

Të gjitha ekuacionet e formës ax^{2}+bx+c=0 mund të zgjidhen duke përdorur formulën e zgjidhjes së ekuacioneve të shkallës së dytë: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula e zgjidhjes së ekuacioneve të shkallës së dytë jep dy zgjidhje, një kur ± është mbledhje dhe një kur është zbritje.

$$4x^{2}+48x-81=0$$

Ky ekuacion është në formën standarde: ax^{2}+bx+c=0. Zëvendëso a me 4, b me 48 dhe c me -81 në formulën e zgjidhjes së ekuacioneve të shkallës së dytë, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-48±\sqrt{48^{2}-4\times 4\left(-81\right)}}{2\times 4}$$

Ngri në fuqi të dytë 48.

$$x=\frac{-48±\sqrt{2304-4\times 4\left(-81\right)}}{2\times 4}$$

Shumëzo -4 herë 4.

$$x=\frac{-48±\sqrt{2304-16\left(-81\right)}}{2\times 4}$$

Shumëzo -16 herë -81.

$$x=\frac{-48±\sqrt{2304+1296}}{2\times 4}$$

Mblidh 2304 me 1296.

$$x=\frac{-48±\sqrt{3600}}{2\times 4}$$

Gjej rrënjën katrore të 3600.

$$x=\frac{-48±60}{2\times 4}$$

Shumëzo 2 herë 4.

$$x=\frac{-48±60}{8}$$

Tani zgjidhe ekuacionin x=\frac{-48±60}{8} kur ± është plus. Mblidh -48 me 60.

$$x=\frac{12}{8}$$

Thjeshto thyesën \frac{12}{8} në kufizat më të vogla duke zbritur dhe thjeshtuar 4.

$$x=\frac{3}{2}$$

Tani zgjidhe ekuacionin x=\frac{-48±60}{8} kur ± është minus. Zbrit 60 nga -48.

$$x=-\frac{108}{8}$$

Thjeshto thyesën \frac{-108}{8} në kufizat më të vogla duke zbritur dhe thjeshtuar 4.

$$x=-\frac{27}{2}$$

Ekuacioni është zgjidhur tani.

$$x=\frac{3}{2} x=-\frac{27}{2}$$

Hapat për plotësimin e katrorit

Ekuacionet e shkallës së dytë si ky mund të zgjidhen duke plotësuar katrorin. Për të plotësuar katrorin, ekuacioni duhet të jetë në fillim në formën x^{2}+bx=c.

$$4x^{2}+48x-81=0$$

Mblidh 81 në të dyja anët e ekuacionit.

$$4x^{2}+48x-81-\left(-81\right)=-\left(-81\right)$$

Zbritja e -81 nga vetja e tij jep 0.

$$4x^{2}+48x=-\left(-81\right)$$

Zbrit -81 nga 0.

$$4x^{2}+48x=81$$

Pjesëto të dyja anët me 4.

$$\frac{4x^{2}+48x}{4}=\frac{81}{4}$$

Pjesëtimi me 4 zhbën shumëzimin me 4.

$$x^{2}+\frac{48}{4}x=\frac{81}{4}$$

Pjesëto 48 me 4.

$$x^{2}+12x=\frac{81}{4}$$

Pjesëto 12, koeficientin e kufizës x, me 2 për të marrë 6. Më pas mblidh katrorin e 6 në të dyja anët e ekuacionit. Ky hap e bën anën e majtë të ekuacionit një katror të përsosur.

$$x^{2}+12x+6^{2}=\frac{81}{4}+6^{2}$$

Ngri në fuqi të dytë 6.

$$x^{2}+12x+36=\frac{81}{4}+36$$

Mblidh \frac{81}{4} me 36.

$$x^{2}+12x+36=\frac{225}{4}$$

Faktori x^{2}+12x+36. Në përgjithësi, kur x^{2}+bx+c është një katror perfekt, mund të faktorizohet gjithmonë si \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+6\right)^{2}=\frac{225}{4}$$

Gjej rrënjën katrore të të dyja anëve të ekuacionit.

$$\sqrt{\left(x+6\right)^{2}}=\sqrt{\frac{225}{4}}$$

Thjeshto.

$$x+6=\frac{15}{2} x+6=-\frac{15}{2}$$

Zbrit 6 nga të dyja anët e ekuacionit.

$$x=\frac{3}{2} x=-\frac{27}{2}$$