Zgjidh 4n^2-7n=11

$$4 n ^ { 2 } - 7 n = 11$$

Gjej n

$$n=-1$$

$$n = \frac{11}{4} = 2\frac{3}{4} = 2.75$$

Hapat që përdorin faktorizimin nëpërmjet grupimit

Zbrit 11 nga të dyja anët.

$$4n^{2}-7n-11=0$$

Për të zgjidhur ekuacionin, faktorizo anën e majtë nëpërmjet grupimit. Së pari, ana e majtë duhet të rishkruhet si 4n^{2}+an+bn-11. Për të gjetur a dhe b, parametrizo një sistem për ta zgjidhur.

$$a+b=-7 ab=4\left(-11\right)=-44$$

Meqenëse ab është negative, a dhe b kanë shenja të kundërta. Meqenëse a+b është negative, numri negativ ka vlerë absolute më të madhe se ai pozitiv. Listo të gjitha këto çifte numrash të plotë që japin prodhimin -44.

$$1,-44 2,-22 4,-11$$

Llogarit shumën për çdo çift.

$$1-44=-43 2-22=-20 4-11=-7$$

Zgjidhja është çifti që jep shumën -7.

$$a=-11 b=4$$

Rishkruaj 4n^{2}-7n-11 si \left(4n^{2}-11n\right)+\left(4n-11\right).

$$\left(4n^{2}-11n\right)+\left(4n-11\right)$$

Faktorizo n në 4n^{2}-11n.

$$n\left(4n-11\right)+4n-11$$

Faktorizo pjesëtuesin e përbashkët 4n-11 duke përdorur vetinë e shpërndarjes.

$$\left(4n-11\right)\left(n+1\right)$$

Për të gjetur zgjidhjet e ekuacionit, zgjidh 4n-11=0 dhe n+1=0.

$$n=\frac{11}{4} n=-1$$

Hapat që përdorin formulën e zgjidhjes së ekuacioneve të shkallës së dytë

Të gjitha ekuacionet e formës ax^{2}+bx+c=0 mund të zgjidhen duke përdorur formulën e zgjidhjes së ekuacioneve të shkallës së dytë: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula e zgjidhjes së ekuacioneve të shkallës së dytë jep dy zgjidhje, një kur ± është mbledhje dhe një kur është zbritje.

$$4n^{2}-7n=11$$

Zbrit 11 nga të dyja anët e ekuacionit.

$$4n^{2}-7n-11=11-11$$

Zbritja e 11 nga vetja e tij jep 0.

$$4n^{2}-7n-11=0$$

Ky ekuacion është në formën standarde: ax^{2}+bx+c=0. Zëvendëso a me 4, b me -7 dhe c me -11 në formulën e zgjidhjes së ekuacioneve të shkallës së dytë, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$n=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{\left(-7\right)^{2}-4\times 4\left(-11\right)}}{2\times 4}$$

Ngri në fuqi të dytë -7.

$$n=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-4\times 4\left(-11\right)}}{2\times 4}$$

Shumëzo -4 herë 4.

$$n=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-16\left(-11\right)}}{2\times 4}$$

Shumëzo -16 herë -11.

$$n=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49+176}}{2\times 4}$$

Mblidh 49 me 176.

$$n=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{225}}{2\times 4}$$

Gjej rrënjën katrore të 225.

$$n=\frac{-\left(-7\right)±15}{2\times 4}$$

E kundërta e -7 është 7.

$$n=\frac{7±15}{2\times 4}$$

Shumëzo 2 herë 4.

$$n=\frac{7±15}{8}$$

Tani zgjidhe ekuacionin n=\frac{7±15}{8} kur ± është plus. Mblidh 7 me 15.

$$n=\frac{22}{8}$$

Thjeshto thyesën \frac{22}{8} në kufizat më të vogla duke zbritur dhe thjeshtuar 2.

$$n=\frac{11}{4}$$

Tani zgjidhe ekuacionin n=\frac{7±15}{8} kur ± është minus. Zbrit 15 nga 7.

$$n=-\frac{8}{8}$$

Pjesëto -8 me 8.

$$n=-1$$

Ekuacioni është zgjidhur tani.

$$n=\frac{11}{4} n=-1$$

Hapat për plotësimin e katrorit

Ekuacionet e shkallës së dytë si ky mund të zgjidhen duke plotësuar katrorin. Për të plotësuar katrorin, ekuacioni duhet të jetë në fillim në formën x^{2}+bx=c.

$$4n^{2}-7n=11$$

Pjesëto të dyja anët me 4.

$$\frac{4n^{2}-7n}{4}=\frac{11}{4}$$

Pjesëtimi me 4 zhbën shumëzimin me 4.

$$n^{2}-\frac{7}{4}n=\frac{11}{4}$$

Pjesëto -\frac{7}{4}, koeficientin e kufizës x, me 2 për të marrë -\frac{7}{8}. Më pas mblidh katrorin e -\frac{7}{8} në të dyja anët e ekuacionit. Ky hap e bën anën e majtë të ekuacionit një katror të përsosur.

$$n^{2}-\frac{7}{4}n+\left(-\frac{7}{8}\right)^{2}=\frac{11}{4}+\left(-\frac{7}{8}\right)^{2}$$

Ngri në fuqi të dytë -\frac{7}{8} duke ngritur në fuqi të dytë që të dy, numëruesin dhe emëruesin e thyesës.

$$n^{2}-\frac{7}{4}n+\frac{49}{64}=\frac{11}{4}+\frac{49}{64}$$

Mblidh \frac{11}{4} me \frac{49}{64} duke gjetur një emërues të përbashkët dhe duke mbledhur numëruesit. Pastaj zvogëlo thyesën në kufizat më të vogla nëse është e mundur.

$$n^{2}-\frac{7}{4}n+\frac{49}{64}=\frac{225}{64}$$

Faktori n^{2}-\frac{7}{4}n+\frac{49}{64}. Në përgjithësi, kur x^{2}+bx+c është një katror i përsosur, ai mund të faktorizohet gjithmonë si \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(n-\frac{7}{8}\right)^{2}=\frac{225}{64}$$

Gjej rrënjën katrore të të dyja anëve të ekuacionit.

$$\sqrt{\left(n-\frac{7}{8}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{225}{64}}$$

Thjeshto.

$$n-\frac{7}{8}=\frac{15}{8} n-\frac{7}{8}=-\frac{15}{8}$$

Mblidh \frac{7}{8} në të dyja anët e ekuacionit.

$$n=\frac{11}{4} n=-1$$