Zgjidh 4(x+3)^2=9(2x-1)^2

$$4 ( x + 3 ) ^ { 2 } = 9 ( 2 x - 1 ) ^ { 2 }$$

Gjej x

$$x = \frac{9}{4} = 2\frac{1}{4} = 2.25$$

$$x=-\frac{3}{8}=-0.375$$

Hapat që përdorin faktorizimin nëpërmjet grupimit

Përdor teoremën e binomit \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} për të zgjeruar \left(x+3\right)^{2}.

$$4\left(x^{2}+6x+9\right)=9\left(2x-1\right)^{2}$$

Përdor vetinë e shpërndarjes për të shumëzuar 4 me x^{2}+6x+9.

$$4x^{2}+24x+36=9\left(2x-1\right)^{2}$$

Përdor teoremën e binomit \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} për të zgjeruar \left(2x-1\right)^{2}.

$$4x^{2}+24x+36=9\left(4x^{2}-4x+1\right)$$

Përdor vetinë e shpërndarjes për të shumëzuar 9 me 4x^{2}-4x+1.

$$4x^{2}+24x+36=36x^{2}-36x+9$$

Zbrit 36x^{2} nga të dyja anët.

$$4x^{2}+24x+36-36x^{2}=-36x+9$$

Kombino 4x^{2} dhe -36x^{2} për të marrë -32x^{2}.

$$-32x^{2}+24x+36=-36x+9$$

Shto 36x në të dyja anët.

$$-32x^{2}+24x+36+36x=9$$

Kombino 24x dhe 36x për të marrë 60x.

$$-32x^{2}+60x+36=9$$

Zbrit 9 nga të dyja anët.

$$-32x^{2}+60x+36-9=0$$

Zbrit 9 nga 36 për të marrë 27.

$$-32x^{2}+60x+27=0$$

Për të zgjidhur ekuacionin, faktorizo anën e majtë nëpërmjet grupimit. Së pari, ana e majtë duhet të rishkruhet si -32x^{2}+ax+bx+27. Për të gjetur a dhe b, parametrizo një sistem për ta zgjidhur.

$$a+b=60 ab=-32\times 27=-864$$

Meqenëse ab është negative, a dhe b kanë shenja të kundërta. Meqenëse a+b është pozitive, numri pozitiv ka vlerë absolute më të madhe se ai negativ. Listo të gjitha këto çifte numrash të plotë që japin prodhimin -864.

$$-1,864 -2,432 -3,288 -4,216 -6,144 -8,108 -9,96 -12,72 -16,54 -18,48 -24,36 -27,32$$

Llogarit shumën për çdo çift.

$$-1+864=863 -2+432=430 -3+288=285 -4+216=212 -6+144=138 -8+108=100 -9+96=87 -12+72=60 -16+54=38 -18+48=30 -24+36=12 -27+32=5$$

Zgjidhja është çifti që jep shumën 60.

$$a=72 b=-12$$

Rishkruaj -32x^{2}+60x+27 si \left(-32x^{2}+72x\right)+\left(-12x+27\right).

$$\left(-32x^{2}+72x\right)+\left(-12x+27\right)$$

Faktorizo -8x në grupin e parë dhe -3 në të dytin.

$$-8x\left(4x-9\right)-3\left(4x-9\right)$$

Faktorizo pjesëtuesin e përbashkët 4x-9 duke përdorur vetinë e shpërndarjes.

$$\left(4x-9\right)\left(-8x-3\right)$$

Për të gjetur zgjidhjet e ekuacionit, zgjidh 4x-9=0 dhe -8x-3=0.

$$x=\frac{9}{4} x=-\frac{3}{8}$$

Hapat që përdorin formulën e zgjidhjes së ekuacioneve të shkallës së dytë

Përdor teoremën e binomit \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} për të zgjeruar \left(x+3\right)^{2}.

$$4\left(x^{2}+6x+9\right)=9\left(2x-1\right)^{2}$$

Përdor vetinë e shpërndarjes për të shumëzuar 4 me x^{2}+6x+9.

$$4x^{2}+24x+36=9\left(2x-1\right)^{2}$$

Përdor teoremën e binomit \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} për të zgjeruar \left(2x-1\right)^{2}.

$$4x^{2}+24x+36=9\left(4x^{2}-4x+1\right)$$

Përdor vetinë e shpërndarjes për të shumëzuar 9 me 4x^{2}-4x+1.

$$4x^{2}+24x+36=36x^{2}-36x+9$$

Zbrit 36x^{2} nga të dyja anët.

$$4x^{2}+24x+36-36x^{2}=-36x+9$$

Kombino 4x^{2} dhe -36x^{2} për të marrë -32x^{2}.

$$-32x^{2}+24x+36=-36x+9$$

Shto 36x në të dyja anët.

$$-32x^{2}+24x+36+36x=9$$

Kombino 24x dhe 36x për të marrë 60x.

$$-32x^{2}+60x+36=9$$

Zbrit 9 nga të dyja anët.

$$-32x^{2}+60x+36-9=0$$

Zbrit 9 nga 36 për të marrë 27.

$$-32x^{2}+60x+27=0$$

Ky ekuacion është në formën standarde: ax^{2}+bx+c=0. Zëvendëso a me -32, b me 60 dhe c me 27 në formulën e zgjidhjes së ekuacioneve të shkallës së dytë, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-60±\sqrt{60^{2}-4\left(-32\right)\times 27}}{2\left(-32\right)}$$

Ngri në fuqi të dytë 60.

$$x=\frac{-60±\sqrt{3600-4\left(-32\right)\times 27}}{2\left(-32\right)}$$

Shumëzo -4 herë -32.

$$x=\frac{-60±\sqrt{3600+128\times 27}}{2\left(-32\right)}$$

Shumëzo 128 herë 27.

$$x=\frac{-60±\sqrt{3600+3456}}{2\left(-32\right)}$$

Mblidh 3600 me 3456.

$$x=\frac{-60±\sqrt{7056}}{2\left(-32\right)}$$

Gjej rrënjën katrore të 7056.

$$x=\frac{-60±84}{2\left(-32\right)}$$

Shumëzo 2 herë -32.

$$x=\frac{-60±84}{-64}$$

Tani zgjidhe ekuacionin x=\frac{-60±84}{-64} kur ± është plus. Mblidh -60 me 84.

$$x=\frac{24}{-64}$$

Thjeshto thyesën \frac{24}{-64} në kufizat më të vogla duke zbritur dhe thjeshtuar 8.

$$x=-\frac{3}{8}$$

Tani zgjidhe ekuacionin x=\frac{-60±84}{-64} kur ± është minus. Zbrit 84 nga -60.

$$x=-\frac{144}{-64}$$

Thjeshto thyesën \frac{-144}{-64} në kufizat më të vogla duke zbritur dhe thjeshtuar 16.

$$x=\frac{9}{4}$$

Ekuacioni është zgjidhur tani.

$$x=-\frac{3}{8} x=\frac{9}{4}$$

Hapat për plotësimin e katrorit

Përdor teoremën e binomit \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} për të zgjeruar \left(x+3\right)^{2}.

$$4\left(x^{2}+6x+9\right)=9\left(2x-1\right)^{2}$$

Përdor vetinë e shpërndarjes për të shumëzuar 4 me x^{2}+6x+9.

$$4x^{2}+24x+36=9\left(2x-1\right)^{2}$$

Përdor teoremën e binomit \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} për të zgjeruar \left(2x-1\right)^{2}.

$$4x^{2}+24x+36=9\left(4x^{2}-4x+1\right)$$

Përdor vetinë e shpërndarjes për të shumëzuar 9 me 4x^{2}-4x+1.

$$4x^{2}+24x+36=36x^{2}-36x+9$$

Zbrit 36x^{2} nga të dyja anët.

$$4x^{2}+24x+36-36x^{2}=-36x+9$$

Kombino 4x^{2} dhe -36x^{2} për të marrë -32x^{2}.

$$-32x^{2}+24x+36=-36x+9$$

Shto 36x në të dyja anët.

$$-32x^{2}+24x+36+36x=9$$

Kombino 24x dhe 36x për të marrë 60x.

$$-32x^{2}+60x+36=9$$

Zbrit 36 nga të dyja anët.

$$-32x^{2}+60x=9-36$$

Zbrit 36 nga 9 për të marrë -27.

$$-32x^{2}+60x=-27$$

Pjesëto të dyja anët me -32.

$$\frac{-32x^{2}+60x}{-32}=-\frac{27}{-32}$$

Pjesëtimi me -32 zhbën shumëzimin me -32.

$$x^{2}+\frac{60}{-32}x=-\frac{27}{-32}$$

Thjeshto thyesën \frac{60}{-32} në kufizat më të vogla duke zbritur dhe thjeshtuar 4.

$$x^{2}-\frac{15}{8}x=-\frac{27}{-32}$$

Pjesëto -27 me -32.

$$x^{2}-\frac{15}{8}x=\frac{27}{32}$$

Pjesëto -\frac{15}{8}, koeficientin e kufizës x, me 2 për të marrë -\frac{15}{16}. Më pas mblidh katrorin e -\frac{15}{16} në të dyja anët e ekuacionit. Ky hap e bën anën e majtë të ekuacionit një katror të përsosur.

$$x^{2}-\frac{15}{8}x+\left(-\frac{15}{16}\right)^{2}=\frac{27}{32}+\left(-\frac{15}{16}\right)^{2}$$

Ngri në fuqi të dytë -\frac{15}{16} duke ngritur në fuqi të dytë që të dy, numëruesin dhe emëruesin e thyesës.

$$x^{2}-\frac{15}{8}x+\frac{225}{256}=\frac{27}{32}+\frac{225}{256}$$

Mblidh \frac{27}{32} me \frac{225}{256} duke gjetur një emërues të përbashkët dhe duke mbledhur numëruesit. Pastaj zvogëlo thyesën në kufizat më të vogla nëse është e mundur.

$$x^{2}-\frac{15}{8}x+\frac{225}{256}=\frac{441}{256}$$

Faktori x^{2}-\frac{15}{8}x+\frac{225}{256}. Në përgjithësi, kur x^{2}+bx+c është një katror perfekt, mund të faktorizohet gjithmonë si \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{15}{16}\right)^{2}=\frac{441}{256}$$

Gjej rrënjën katrore të të dyja anëve të ekuacionit.

$$\sqrt{\left(x-\frac{15}{16}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{441}{256}}$$

Thjeshto.

$$x-\frac{15}{16}=\frac{21}{16} x-\frac{15}{16}=-\frac{21}{16}$$

Mblidh \frac{15}{16} në të dyja anët e ekuacionit.

$$x=\frac{9}{4} x=-\frac{3}{8}$$