Zgjidh 4(x+1)^2-169=0

$$4 ( x + 1 ) ^ { 2 } - 169 = 0$$

Gjej x

$$x = \frac{11}{2} = 5\frac{1}{2} = 5.5$$

$$x = -\frac{15}{2} = -7\frac{1}{2} = -7.5$$

Hapat që përdorin faktorizimin nëpërmjet grupimit

Përdor teoremën e binomit \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} për të zgjeruar \left(x+1\right)^{2}.

$$4\left(x^{2}+2x+1\right)-169=0$$

Përdor vetinë e shpërndarjes për të shumëzuar 4 me x^{2}+2x+1.

$$4x^{2}+8x+4-169=0$$

Zbrit 169 nga 4 për të marrë -165.

$$4x^{2}+8x-165=0$$

Për të zgjidhur ekuacionin, faktorizo anën e majtë nëpërmjet grupimit. Së pari, ana e majtë duhet të rishkruhet si 4x^{2}+ax+bx-165. Për të gjetur a dhe b, parametrizo një sistem për ta zgjidhur.

$$a+b=8 ab=4\left(-165\right)=-660$$

Meqenëse ab është negative, a dhe b kanë shenja të kundërta. Meqenëse a+b është pozitive, numri pozitiv ka vlerë absolute më të madhe se ai negativ. Listo të gjitha këto çifte numrash të plotë që japin prodhimin -660.

$$-1,660 -2,330 -3,220 -4,165 -5,132 -6,110 -10,66 -11,60 -12,55 -15,44 -20,33 -22,30$$

Llogarit shumën për çdo çift.

$$-1+660=659 -2+330=328 -3+220=217 -4+165=161 -5+132=127 -6+110=104 -10+66=56 -11+60=49 -12+55=43 -15+44=29 -20+33=13 -22+30=8$$

Zgjidhja është çifti që jep shumën 8.

$$a=-22 b=30$$

Rishkruaj 4x^{2}+8x-165 si \left(4x^{2}-22x\right)+\left(30x-165\right).

$$\left(4x^{2}-22x\right)+\left(30x-165\right)$$

Faktorizo 2x në grupin e parë dhe 15 në të dytin.

$$2x\left(2x-11\right)+15\left(2x-11\right)$$

Faktorizo pjesëtuesin e përbashkët 2x-11 duke përdorur vetinë e shpërndarjes.

$$\left(2x-11\right)\left(2x+15\right)$$

Për të gjetur zgjidhjet e ekuacionit, zgjidh 2x-11=0 dhe 2x+15=0.

$$x=\frac{11}{2} x=-\frac{15}{2}$$

Hapat që përdorin formulën e zgjidhjes së ekuacioneve të shkallës së dytë

Përdor teoremën e binomit \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} për të zgjeruar \left(x+1\right)^{2}.

$$4\left(x^{2}+2x+1\right)-169=0$$

Përdor vetinë e shpërndarjes për të shumëzuar 4 me x^{2}+2x+1.

$$4x^{2}+8x+4-169=0$$

Zbrit 169 nga 4 për të marrë -165.

$$4x^{2}+8x-165=0$$

Ky ekuacion është në formën standarde: ax^{2}+bx+c=0. Zëvendëso a me 4, b me 8 dhe c me -165 në formulën e zgjidhjes së ekuacioneve të shkallës së dytë, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-8±\sqrt{8^{2}-4\times 4\left(-165\right)}}{2\times 4}$$

Ngri në fuqi të dytë 8.

$$x=\frac{-8±\sqrt{64-4\times 4\left(-165\right)}}{2\times 4}$$

Shumëzo -4 herë 4.

$$x=\frac{-8±\sqrt{64-16\left(-165\right)}}{2\times 4}$$

Shumëzo -16 herë -165.

$$x=\frac{-8±\sqrt{64+2640}}{2\times 4}$$

Mblidh 64 me 2640.

$$x=\frac{-8±\sqrt{2704}}{2\times 4}$$

Gjej rrënjën katrore të 2704.

$$x=\frac{-8±52}{2\times 4}$$

Shumëzo 2 herë 4.

$$x=\frac{-8±52}{8}$$

Tani zgjidhe ekuacionin x=\frac{-8±52}{8} kur ± është plus. Mblidh -8 me 52.

$$x=\frac{44}{8}$$

Thjeshto thyesën \frac{44}{8} në kufizat më të vogla duke zbritur dhe thjeshtuar 4.

$$x=\frac{11}{2}$$

Tani zgjidhe ekuacionin x=\frac{-8±52}{8} kur ± është minus. Zbrit 52 nga -8.

$$x=-\frac{60}{8}$$

Thjeshto thyesën \frac{-60}{8} në kufizat më të vogla duke zbritur dhe thjeshtuar 4.

$$x=-\frac{15}{2}$$

Ekuacioni është zgjidhur tani.

$$x=\frac{11}{2} x=-\frac{15}{2}$$

Hapat për plotësimin e katrorit

Përdor teoremën e binomit \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} për të zgjeruar \left(x+1\right)^{2}.

$$4\left(x^{2}+2x+1\right)-169=0$$

Përdor vetinë e shpërndarjes për të shumëzuar 4 me x^{2}+2x+1.

$$4x^{2}+8x+4-169=0$$

Zbrit 169 nga 4 për të marrë -165.

$$4x^{2}+8x-165=0$$

Shto 165 në të dyja anët. Një numër i mbledhur me zero është i barabartë me atë numër.

$$4x^{2}+8x=165$$

Pjesëto të dyja anët me 4.

$$\frac{4x^{2}+8x}{4}=\frac{165}{4}$$

Pjesëtimi me 4 zhbën shumëzimin me 4.

$$x^{2}+\frac{8}{4}x=\frac{165}{4}$$

Pjesëto 8 me 4.

$$x^{2}+2x=\frac{165}{4}$$

Pjesëto 2, koeficientin e kufizës x, me 2 për të marrë 1. Më pas mblidh katrorin e 1 në të dyja anët e ekuacionit. Ky hap e bën anën e majtë të ekuacionit një katror të përsosur.

$$x^{2}+2x+1^{2}=\frac{165}{4}+1^{2}$$

Ngri në fuqi të dytë 1.

$$x^{2}+2x+1=\frac{165}{4}+1$$

Mblidh \frac{165}{4} me 1.

$$x^{2}+2x+1=\frac{169}{4}$$

Faktori x^{2}+2x+1. Në përgjithësi, kur x^{2}+bx+c është një katror perfekt, mund të faktorizohet gjithmonë si \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+1\right)^{2}=\frac{169}{4}$$

Gjej rrënjën katrore të të dyja anëve të ekuacionit.

$$\sqrt{\left(x+1\right)^{2}}=\sqrt{\frac{169}{4}}$$

Thjeshto.

$$x+1=\frac{13}{2} x+1=-\frac{13}{2}$$

Zbrit 1 nga të dyja anët e ekuacionit.

$$x=\frac{11}{2} x=-\frac{15}{2}$$