Zgjidh 4x^2-2x-1=0

$$4 { x }^{ 2 } -2x-1=0$$

Gjej x

$$x=\frac{\sqrt{5}+1}{4}\approx 0.809016994$$

$$x=\frac{1-\sqrt{5}}{4}\approx -0.309016994$$

Hapat që përdorin formulën e zgjidhjes së ekuacioneve të shkallës së dytë

Të gjitha ekuacionet e formës ax^{2}+bx+c=0 mund të zgjidhen duke përdorur formulën e zgjidhjes së ekuacioneve të shkallës së dytë: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula e zgjidhjes së ekuacioneve të shkallës së dytë jep dy zgjidhje, një kur ± është mbledhje dhe një kur është zbritje.

$$4x^{2}-2x-1=0$$

Ky ekuacion është në formën standarde: ax^{2}+bx+c=0. Zëvendëso a me 4, b me -2 dhe c me -1 në formulën e zgjidhjes së ekuacioneve të shkallës së dytë, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{\left(-2\right)^{2}-4\times 4\left(-1\right)}}{2\times 4}$$

Ngri në fuqi të dytë -2.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-4\times 4\left(-1\right)}}{2\times 4}$$

Shumëzo -4 herë 4.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-16\left(-1\right)}}{2\times 4}$$

Shumëzo -16 herë -1.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4+16}}{2\times 4}$$

Mblidh 4 me 16.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{20}}{2\times 4}$$

Gjej rrënjën katrore të 20.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±2\sqrt{5}}{2\times 4}$$

E kundërta e -2 është 2.

$$x=\frac{2±2\sqrt{5}}{2\times 4}$$

Shumëzo 2 herë 4.

$$x=\frac{2±2\sqrt{5}}{8}$$

Tani zgjidhe ekuacionin x=\frac{2±2\sqrt{5}}{8} kur ± është plus. Mblidh 2 me 2\sqrt{5}.

$$x=\frac{2\sqrt{5}+2}{8}$$

Pjesëto 2+2\sqrt{5} me 8.

$$x=\frac{\sqrt{5}+1}{4}$$

Tani zgjidhe ekuacionin x=\frac{2±2\sqrt{5}}{8} kur ± është minus. Zbrit 2\sqrt{5} nga 2.

$$x=\frac{2-2\sqrt{5}}{8}$$

Pjesëto 2-2\sqrt{5} me 8.

$$x=\frac{1-\sqrt{5}}{4}$$

Ekuacioni është zgjidhur tani.

$$x=\frac{\sqrt{5}+1}{4} x=\frac{1-\sqrt{5}}{4}$$

Hapat për plotësimin e katrorit

Ekuacionet e shkallës së dytë si ky mund të zgjidhen duke plotësuar katrorin. Për të plotësuar katrorin, ekuacioni duhet të jetë në fillim në formën x^{2}+bx=c.

$$4x^{2}-2x-1=0$$

Mblidh 1 në të dyja anët e ekuacionit.

$$4x^{2}-2x-1-\left(-1\right)=-\left(-1\right)$$

Zbritja e -1 nga vetja e tij jep 0.

$$4x^{2}-2x=-\left(-1\right)$$

Zbrit -1 nga 0.

$$4x^{2}-2x=1$$

Pjesëto të dyja anët me 4.

$$\frac{4x^{2}-2x}{4}=\frac{1}{4}$$

Pjesëtimi me 4 zhbën shumëzimin me 4.

$$x^{2}+\left(-\frac{2}{4}\right)x=\frac{1}{4}$$

Thjeshto thyesën \frac{-2}{4} në kufizat më të vogla duke zbritur dhe thjeshtuar 2.

$$x^{2}-\frac{1}{2}x=\frac{1}{4}$$

Pjesëto -\frac{1}{2}, koeficientin e kufizës x, me 2 për të marrë -\frac{1}{4}. Më pas mblidh katrorin e -\frac{1}{4} në të dyja anët e ekuacionit. Ky hap e bën anën e majtë të ekuacionit një katror të përsosur.

$$x^{2}-\frac{1}{2}x+\left(-\frac{1}{4}\right)^{2}=\frac{1}{4}+\left(-\frac{1}{4}\right)^{2}$$

Ngri në fuqi të dytë -\frac{1}{4} duke ngritur në fuqi të dytë që të dy, numëruesin dhe emëruesin e thyesës.

$$x^{2}-\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}=\frac{1}{4}+\frac{1}{16}$$

Mblidh \frac{1}{4} me \frac{1}{16} duke gjetur një emërues të përbashkët dhe duke mbledhur numëruesit. Pastaj zvogëlo thyesën në kufizat më të vogla nëse është e mundur.

$$x^{2}-\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}=\frac{5}{16}$$

Faktori x^{2}-\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}. Në përgjithësi, kur x^{2}+bx+c është një katror perfekt, mund të faktorizohet gjithmonë si \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{4}\right)^{2}=\frac{5}{16}$$

Gjej rrënjën katrore të të dyja anëve të ekuacionit.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{5}{16}}$$

Thjeshto.

$$x-\frac{1}{4}=\frac{\sqrt{5}}{4} x-\frac{1}{4}=-\frac{\sqrt{5}}{4}$$

Mblidh \frac{1}{4} në të dyja anët e ekuacionit.

$$x=\frac{\sqrt{5}+1}{4} x=\frac{1-\sqrt{5}}{4}$$