Zgjidh 4x^2+4x=120

$$4 { x }^{ 2 } +4x=120$$

Gjej x

$$x=-6$$

$$x=5$$

Hapat që përdorin faktorizimin nëpërmjet grupimit

Zbrit 120 nga të dyja anët.

$$4x^{2}+4x-120=0$$

Pjesëto të dyja anët me 4.

$$x^{2}+x-30=0$$

Për të zgjidhur ekuacionin, faktorizo anën e majtë nëpërmjet grupimit. Së pari, ana e majtë duhet të rishkruhet si x^{2}+ax+bx-30. Për të gjetur a dhe b, parametrizo një sistem për ta zgjidhur.

$$a+b=1 ab=1\left(-30\right)=-30$$

Meqenëse ab është negative, a dhe b kanë shenja të kundërta. Meqenëse a+b është pozitive, numri pozitiv ka vlerë absolute më të madhe se ai negativ. Listo të gjitha këto çifte numrash të plotë që japin prodhimin -30.

$$-1,30 -2,15 -3,10 -5,6$$

Llogarit shumën për çdo çift.

$$-1+30=29 -2+15=13 -3+10=7 -5+6=1$$

Zgjidhja është çifti që jep shumën 1.

$$a=-5 b=6$$

Rishkruaj x^{2}+x-30 si \left(x^{2}-5x\right)+\left(6x-30\right).

$$\left(x^{2}-5x\right)+\left(6x-30\right)$$

Faktorizo x në grupin e parë dhe 6 në të dytin.

$$x\left(x-5\right)+6\left(x-5\right)$$

Faktorizo pjesëtuesin e përbashkët x-5 duke përdorur vetinë e shpërndarjes.

$$\left(x-5\right)\left(x+6\right)$$

Për të gjetur zgjidhjet e ekuacionit, zgjidh x-5=0 dhe x+6=0.

$$x=5 x=-6$$

Hapat që përdorin formulën e zgjidhjes së ekuacioneve të shkallës së dytë

Të gjitha ekuacionet e formës ax^{2}+bx+c=0 mund të zgjidhen duke përdorur formulën e zgjidhjes së ekuacioneve të shkallës së dytë: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula e zgjidhjes së ekuacioneve të shkallës së dytë jep dy zgjidhje, një kur ± është mbledhje dhe një kur është zbritje.

$$4x^{2}+4x=120$$

Zbrit 120 nga të dyja anët e ekuacionit.

$$4x^{2}+4x-120=120-120$$

Zbritja e 120 nga vetja e tij jep 0.

$$4x^{2}+4x-120=0$$

Ky ekuacion është në formën standarde: ax^{2}+bx+c=0. Zëvendëso a me 4, b me 4 dhe c me -120 në formulën e zgjidhjes së ekuacioneve të shkallës së dytë, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-4±\sqrt{4^{2}-4\times 4\left(-120\right)}}{2\times 4}$$

Ngri në fuqi të dytë 4.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-4\times 4\left(-120\right)}}{2\times 4}$$

Shumëzo -4 herë 4.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-16\left(-120\right)}}{2\times 4}$$

Shumëzo -16 herë -120.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16+1920}}{2\times 4}$$

Mblidh 16 me 1920.

$$x=\frac{-4±\sqrt{1936}}{2\times 4}$$

Gjej rrënjën katrore të 1936.

$$x=\frac{-4±44}{2\times 4}$$

Shumëzo 2 herë 4.

$$x=\frac{-4±44}{8}$$

Tani zgjidhe ekuacionin x=\frac{-4±44}{8} kur ± është plus. Mblidh -4 me 44.

$$x=\frac{40}{8}$$

Pjesëto 40 me 8.

$$x=5$$

Tani zgjidhe ekuacionin x=\frac{-4±44}{8} kur ± është minus. Zbrit 44 nga -4.

$$x=-\frac{48}{8}$$

Pjesëto -48 me 8.

$$x=-6$$

Ekuacioni është zgjidhur tani.

$$x=5 x=-6$$

Hapat për plotësimin e katrorit

Ekuacionet e shkallës së dytë si ky mund të zgjidhen duke plotësuar katrorin. Për të plotësuar katrorin, ekuacioni duhet të jetë në fillim në formën x^{2}+bx=c.

$$4x^{2}+4x=120$$

Pjesëto të dyja anët me 4.

$$\frac{4x^{2}+4x}{4}=\frac{120}{4}$$

Pjesëtimi me 4 zhbën shumëzimin me 4.

$$x^{2}+\frac{4}{4}x=\frac{120}{4}$$

Pjesëto 4 me 4.

$$x^{2}+x=\frac{120}{4}$$

Pjesëto 120 me 4.

$$x^{2}+x=30$$

Pjesëto 1, koeficientin e kufizës x, me 2 për të marrë \frac{1}{2}. Më pas mblidh katrorin e \frac{1}{2} në të dyja anët e ekuacionit. Ky hap e bën anën e majtë të ekuacionit një katror të përsosur.

$$x^{2}+x+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}=30+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Ngri në fuqi të dytë \frac{1}{2} duke ngritur në fuqi të dytë që të dy, numëruesin dhe emëruesin e thyesës.

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=30+\frac{1}{4}$$

Mblidh 30 me \frac{1}{4}.

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=\frac{121}{4}$$

Faktori x^{2}+x+\frac{1}{4}. Në përgjithësi, kur x^{2}+bx+c është një katror perfekt, mund të faktorizohet gjithmonë si \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{121}{4}$$

Gjej rrënjën katrore të të dyja anëve të ekuacionit.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{121}{4}}$$

Thjeshto.

$$x+\frac{1}{2}=\frac{11}{2} x+\frac{1}{2}=-\frac{11}{2}$$

Zbrit \frac{1}{2} nga të dyja anët e ekuacionit.

$$x=5 x=-6$$