Zgjidh 4a^2-5a+1=0

$$4 { a }^{ 2 } -5a+1 = 0$$

Gjej a

$$a=\frac{1}{4}=0.25$$

$$a=1$$

Hapat që përdorin faktorizimin nëpërmjet grupimit

Për të zgjidhur ekuacionin, faktorizo anën e majtë nëpërmjet grupimit. Së pari, ana e majtë duhet të rishkruhet si 4a^{2}+aa+ba+1. Për të gjetur a dhe b, parametrizo një sistem për ta zgjidhur.

$$a+b=-5 ab=4\times 1=4$$

Meqenëse ab është pozitive, a dhe b kanë shenjë të njëjtë. Meqenëse a+b është negative, a dhe b janë të dyja negative. Listo të gjitha këto çifte numrash të plotë që japin prodhimin 4.

$$-1,-4 -2,-2$$

Llogarit shumën për çdo çift.

$$-1-4=-5 -2-2=-4$$

Zgjidhja është çifti që jep shumën -5.

$$a=-4 b=-1$$

Rishkruaj 4a^{2}-5a+1 si \left(4a^{2}-4a\right)+\left(-a+1\right).

$$\left(4a^{2}-4a\right)+\left(-a+1\right)$$

Faktorizo 4a në grupin e parë dhe -1 në të dytin.

$$4a\left(a-1\right)-\left(a-1\right)$$

Faktorizo pjesëtuesin e përbashkët a-1 duke përdorur vetinë e shpërndarjes.

$$\left(a-1\right)\left(4a-1\right)$$

Për të gjetur zgjidhjet e ekuacionit, zgjidh a-1=0 dhe 4a-1=0.

$$a=1 a=\frac{1}{4}$$

Hapat që përdorin formulën e zgjidhjes së ekuacioneve të shkallës së dytë

Të gjitha ekuacionet e formës ax^{2}+bx+c=0 mund të zgjidhen duke përdorur formulën e zgjidhjes së ekuacioneve të shkallës së dytë: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula e zgjidhjes së ekuacioneve të shkallës së dytë jep dy zgjidhje, një kur ± është mbledhje dhe një kur është zbritje.

$$4a^{2}-5a+1=0$$

Ky ekuacion është në formën standarde: ax^{2}+bx+c=0. Zëvendëso a me 4, b me -5 dhe c me 1 në formulën e zgjidhjes së ekuacioneve të shkallës së dytë, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$a=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{\left(-5\right)^{2}-4\times 4}}{2\times 4}$$

Ngri në fuqi të dytë -5.

$$a=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-4\times 4}}{2\times 4}$$

Shumëzo -4 herë 4.

$$a=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-16}}{2\times 4}$$

Mblidh 25 me -16.

$$a=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{9}}{2\times 4}$$

Gjej rrënjën katrore të 9.

$$a=\frac{-\left(-5\right)±3}{2\times 4}$$

E kundërta e -5 është 5.

$$a=\frac{5±3}{2\times 4}$$

Shumëzo 2 herë 4.

$$a=\frac{5±3}{8}$$

Tani zgjidhe ekuacionin a=\frac{5±3}{8} kur ± është plus. Mblidh 5 me 3.

$$a=\frac{8}{8}$$

Pjesëto 8 me 8.

$$a=1$$

Tani zgjidhe ekuacionin a=\frac{5±3}{8} kur ± është minus. Zbrit 3 nga 5.

$$a=\frac{2}{8}$$

Thjeshto thyesën \frac{2}{8} në kufizat më të vogla duke zbritur dhe thjeshtuar 2.

$$a=\frac{1}{4}$$

Ekuacioni është zgjidhur tani.

$$a=1 a=\frac{1}{4}$$

Hapat për plotësimin e katrorit

Ekuacionet e shkallës së dytë si ky mund të zgjidhen duke plotësuar katrorin. Për të plotësuar katrorin, ekuacioni duhet të jetë në fillim në formën x^{2}+bx=c.

$$4a^{2}-5a+1=0$$

Zbrit 1 nga të dyja anët e ekuacionit.

$$4a^{2}-5a+1-1=-1$$

Zbritja e 1 nga vetja e tij jep 0.

$$4a^{2}-5a=-1$$

Pjesëto të dyja anët me 4.

$$\frac{4a^{2}-5a}{4}=-\frac{1}{4}$$

Pjesëtimi me 4 zhbën shumëzimin me 4.

$$a^{2}-\frac{5}{4}a=-\frac{1}{4}$$

Pjesëto -\frac{5}{4}, koeficientin e kufizës x, me 2 për të marrë -\frac{5}{8}. Më pas mblidh katrorin e -\frac{5}{8} në të dyja anët e ekuacionit. Ky hap e bën anën e majtë të ekuacionit një katror të përsosur.

$$a^{2}-\frac{5}{4}a+\left(-\frac{5}{8}\right)^{2}=-\frac{1}{4}+\left(-\frac{5}{8}\right)^{2}$$

Ngri në fuqi të dytë -\frac{5}{8} duke ngritur në fuqi të dytë që të dy, numëruesin dhe emëruesin e thyesës.

$$a^{2}-\frac{5}{4}a+\frac{25}{64}=-\frac{1}{4}+\frac{25}{64}$$

Mblidh -\frac{1}{4} me \frac{25}{64} duke gjetur një emërues të përbashkët dhe duke mbledhur numëruesit. Pastaj zvogëlo thyesën në kufizat më të vogla nëse është e mundur.

$$a^{2}-\frac{5}{4}a+\frac{25}{64}=\frac{9}{64}$$

Faktori a^{2}-\frac{5}{4}a+\frac{25}{64}. Në përgjithësi, kur x^{2}+bx+c është një katror perfekt, mund të faktorizohet gjithmonë si \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(a-\frac{5}{8}\right)^{2}=\frac{9}{64}$$

Gjej rrënjën katrore të të dyja anëve të ekuacionit.

$$\sqrt{\left(a-\frac{5}{8}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{9}{64}}$$

Thjeshto.

$$a-\frac{5}{8}=\frac{3}{8} a-\frac{5}{8}=-\frac{3}{8}$$

Mblidh \frac{5}{8} në të dyja anët e ekuacionit.

$$a=1 a=\frac{1}{4}$$