Zgjidh 39x^2+200x+209

$$39 x ^ { 2 } + 200 x + 209$$

Faktorizo

$$\left(3x+11\right)\left(13x+19\right)$$

Hapat e zgjidhjes

Faktorizo shprehjen nëpërmjet grupimit. Së pari, shprehja duhet të rishkruhet si 39x^{2}+ax+bx+209. Për të gjetur a dhe b, parametrizo një sistem për ta zgjidhur.

$$a+b=200 ab=39\times 209=8151$$

Meqenëse ab është pozitive, a dhe b kanë shenjë të njëjtë. Meqenëse a+b është pozitive, a dhe b janë të dyja pozitive. Listo të gjitha këto çifte numrash të plotë që japin prodhimin 8151.

$$1,8151 3,2717 11,741 13,627 19,429 33,247 39,209 57,143$$

Llogarit shumën për çdo çift.

$$1+8151=8152 3+2717=2720 11+741=752 13+627=640 19+429=448 33+247=280 39+209=248 57+143=200$$

Zgjidhja është çifti që jep shumën 200.

$$a=57 b=143$$

Rishkruaj 39x^{2}+200x+209 si \left(39x^{2}+57x\right)+\left(143x+209\right).

$$\left(39x^{2}+57x\right)+\left(143x+209\right)$$

Faktorizo 3x në grupin e parë dhe 11 në të dytin.

$$3x\left(13x+19\right)+11\left(13x+19\right)$$

Faktorizo pjesëtuesin e përbashkët 13x+19 duke përdorur vetinë e shpërndarjes.

$$\left(13x+19\right)\left(3x+11\right)$$

Hapat që përdorin formulën e zgjidhjes së ekuacioneve të shkallës së dytë

Polinomi i shkallës së dytë mund të faktorizohet duke përdorur transformimin ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), ku x_{1} dhe x_{2} janë zgjidhjet e ekuacionit të shkallës së dytë ax^{2}+bx+c=0.

$$39x^{2}+200x+209=0$$

Të gjitha ekuacionet e formës ax^{2}+bx+c=0 mund të zgjidhen duke përdorur formulën e zgjidhjes së ekuacioneve të shkallës së dytë: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula e zgjidhjes së ekuacioneve të shkallës së dytë jep dy zgjidhje, një kur ± është mbledhje dhe një kur është zbritje.

$$x=\frac{-200±\sqrt{200^{2}-4\times 39\times 209}}{2\times 39}$$

Ngri në fuqi të dytë 200.

$$x=\frac{-200±\sqrt{40000-4\times 39\times 209}}{2\times 39}$$

Shumëzo -4 herë 39.

$$x=\frac{-200±\sqrt{40000-156\times 209}}{2\times 39}$$

Shumëzo -156 herë 209.

$$x=\frac{-200±\sqrt{40000-32604}}{2\times 39}$$

Mblidh 40000 me -32604.

$$x=\frac{-200±\sqrt{7396}}{2\times 39}$$

Gjej rrënjën katrore të 7396.

$$x=\frac{-200±86}{2\times 39}$$

Shumëzo 2 herë 39.

$$x=\frac{-200±86}{78}$$

Tani zgjidhe ekuacionin x=\frac{-200±86}{78} kur ± është plus. Mblidh -200 me 86.

$$x=-\frac{114}{78}$$

Thjeshto thyesën \frac{-114}{78} në kufizat më të vogla duke zbritur dhe thjeshtuar 6.

$$x=-\frac{19}{13}$$

Tani zgjidhe ekuacionin x=\frac{-200±86}{78} kur ± është minus. Zbrit 86 nga -200.

$$x=-\frac{286}{78}$$

Thjeshto thyesën \frac{-286}{78} në kufizat më të vogla duke zbritur dhe thjeshtuar 26.

$$x=-\frac{11}{3}$$

Faktorizo shprehjen origjinale duke përdorur ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Zëvendëso -\frac{19}{13} për x_{1} dhe -\frac{11}{3} për x_{2}.

$$39x^{2}+200x+209=39\left(x-\left(-\frac{19}{13}\right)\right)\left(x-\left(-\frac{11}{3}\right)\right)$$

Thjeshto të gjitha shprehjet e formës p-\left(-q\right) në p+q.

$$39x^{2}+200x+209=39\left(x+\frac{19}{13}\right)\left(x+\frac{11}{3}\right)$$

Mblidh \frac{19}{13} me x duke gjetur një emërues të përbashkët dhe duke mbledhur numëruesit. Pastaj zvogëlo thyesën në kufizat më të vogla nëse është e mundur.

$$39x^{2}+200x+209=39\times \frac{13x+19}{13}\left(x+\frac{11}{3}\right)$$

Mblidh \frac{11}{3} me x duke gjetur një emërues të përbashkët dhe duke mbledhur numëruesit. Pastaj zvogëlo thyesën në kufizat më të vogla nëse është e mundur.

$$39x^{2}+200x+209=39\times \frac{13x+19}{13}\times \frac{3x+11}{3}$$

Shumëzo \frac{13x+19}{13} herë \frac{3x+11}{3} duke shumëzuar numëruesin herë numëruesin dhe emëruesin herë emëruesin. Më pas thjeshtoje thyesën në kufizat më të vogla nëse është e mundur.

$$39x^{2}+200x+209=39\times \frac{\left(13x+19\right)\left(3x+11\right)}{13\times 3}$$

Shumëzo 13 herë 3.

$$39x^{2}+200x+209=39\times \frac{\left(13x+19\right)\left(3x+11\right)}{39}$$

Thjeshto faktorin më të madh të përbashkët 39 në 39 dhe 39.

$$39x^{2}+200x+209=\left(13x+19\right)\left(3x+11\right)$$

Vlerëso

$$\left(3x+11\right)\left(13x+19\right)$$