Zgjidh 3z^2+14z-5

$$3 z ^ { 2 } + 14 z - 5$$

Faktorizo

$$\left(3z-1\right)\left(z+5\right)$$

Hapat e zgjidhjes

Faktorizo shprehjen nëpërmjet grupimit. Së pari, shprehja duhet të rishkruhet si 3z^{2}+az+bz-5. Për të gjetur a dhe b, parametrizo një sistem për ta zgjidhur.

$$a+b=14 ab=3\left(-5\right)=-15$$

Meqenëse ab është negative, a dhe b kanë shenja të kundërta. Meqenëse a+b është pozitive, numri pozitiv ka vlerë absolute më të madhe se ai negativ. Listo të gjitha këto çifte numrash të plotë që japin prodhimin -15.

$$-1,15 -3,5$$

Llogarit shumën për çdo çift.

$$-1+15=14 -3+5=2$$

Zgjidhja është çifti që jep shumën 14.

$$a=-1 b=15$$

Rishkruaj 3z^{2}+14z-5 si \left(3z^{2}-z\right)+\left(15z-5\right).

$$\left(3z^{2}-z\right)+\left(15z-5\right)$$

Faktorizo z në grupin e parë dhe 5 në të dytin.

$$z\left(3z-1\right)+5\left(3z-1\right)$$

Faktorizo pjesëtuesin e përbashkët 3z-1 duke përdorur vetinë e shpërndarjes.

$$\left(3z-1\right)\left(z+5\right)$$

Hapat që përdorin formulën e zgjidhjes së ekuacioneve të shkallës së dytë

Polinomi i shkallës së dytë mund të faktorizohet duke përdorur transformimin ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), ku x_{1} dhe x_{2} janë zgjidhjet e ekuacionit të shkallës së dytë ax^{2}+bx+c=0.

$$3z^{2}+14z-5=0$$

Të gjitha ekuacionet e formës ax^{2}+bx+c=0 mund të zgjidhen duke përdorur formulën e zgjidhjes së ekuacioneve të shkallës së dytë: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula e zgjidhjes së ekuacioneve të shkallës së dytë jep dy zgjidhje, një kur ± është mbledhje dhe një kur është zbritje.

$$z=\frac{-14±\sqrt{14^{2}-4\times 3\left(-5\right)}}{2\times 3}$$

Ngri në fuqi të dytë 14.

$$z=\frac{-14±\sqrt{196-4\times 3\left(-5\right)}}{2\times 3}$$

Shumëzo -4 herë 3.

$$z=\frac{-14±\sqrt{196-12\left(-5\right)}}{2\times 3}$$

Shumëzo -12 herë -5.

$$z=\frac{-14±\sqrt{196+60}}{2\times 3}$$

Mblidh 196 me 60.

$$z=\frac{-14±\sqrt{256}}{2\times 3}$$

Gjej rrënjën katrore të 256.

$$z=\frac{-14±16}{2\times 3}$$

Shumëzo 2 herë 3.

$$z=\frac{-14±16}{6}$$

Tani zgjidhe ekuacionin z=\frac{-14±16}{6} kur ± është plus. Mblidh -14 me 16.

$$z=\frac{2}{6}$$

Thjeshto thyesën \frac{2}{6} në kufizat më të vogla duke zbritur dhe thjeshtuar 2.

$$z=\frac{1}{3}$$

Tani zgjidhe ekuacionin z=\frac{-14±16}{6} kur ± është minus. Zbrit 16 nga -14.

$$z=-\frac{30}{6}$$

Pjesëto -30 me 6.

$$z=-5$$

Faktorizo shprehjen origjinale duke përdorur ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Zëvendëso \frac{1}{3} për x_{1} dhe -5 për x_{2}.

$$3z^{2}+14z-5=3\left(z-\frac{1}{3}\right)\left(z-\left(-5\right)\right)$$

Thjeshto të gjitha shprehjet e formës p-\left(-q\right) në p+q.

$$3z^{2}+14z-5=3\left(z-\frac{1}{3}\right)\left(z+5\right)$$

Zbrit \frac{1}{3} nga z duke gjetur një emërues të përbashkët dhe duke zbritur numëruesit. Më pas thjeshto thyesën në kufizat më të vogla nëse është e mundur.

$$3z^{2}+14z-5=3\times \frac{3z-1}{3}\left(z+5\right)$$

Thjeshto faktorin më të madh të përbashkët 3 në 3 dhe 3.

$$3z^{2}+14z-5=\left(3z-1\right)\left(z+5\right)$$

Vlerëso

$$\left(3z-1\right)\left(z+5\right)$$