Zgjidh 3y^2-11y+10=0

$$3 y ^ { 2 } - 11 y + 10 = 0$$

Gjej y

$$y=2$$

$$y = \frac{5}{3} = 1\frac{2}{3} \approx 1.666666667$$

Hapat që përdorin faktorizimin nëpërmjet grupimit

Për të zgjidhur ekuacionin, faktorizo anën e majtë nëpërmjet grupimit. Së pari, ana e majtë duhet të rishkruhet si 3y^{2}+ay+by+10. Për të gjetur a dhe b, parametrizo një sistem për ta zgjidhur.

$$a+b=-11 ab=3\times 10=30$$

Meqenëse ab është pozitive, a dhe b kanë shenjë të njëjtë. Meqenëse a+b është negative, a dhe b janë të dyja negative. Listo të gjitha këto çifte numrash të plotë që japin prodhimin 30.

$$-1,-30 -2,-15 -3,-10 -5,-6$$

Llogarit shumën për çdo çift.

$$-1-30=-31 -2-15=-17 -3-10=-13 -5-6=-11$$

Zgjidhja është çifti që jep shumën -11.

$$a=-6 b=-5$$

Rishkruaj 3y^{2}-11y+10 si \left(3y^{2}-6y\right)+\left(-5y+10\right).

$$\left(3y^{2}-6y\right)+\left(-5y+10\right)$$

Faktorizo 3y në grupin e parë dhe -5 në të dytin.

$$3y\left(y-2\right)-5\left(y-2\right)$$

Faktorizo pjesëtuesin e përbashkët y-2 duke përdorur vetinë e shpërndarjes.

$$\left(y-2\right)\left(3y-5\right)$$

Për të gjetur zgjidhjet e ekuacionit, zgjidh y-2=0 dhe 3y-5=0.

$$y=2 y=\frac{5}{3}$$

Hapat që përdorin formulën e zgjidhjes së ekuacioneve të shkallës së dytë

Të gjitha ekuacionet e formës ax^{2}+bx+c=0 mund të zgjidhen duke përdorur formulën e zgjidhjes së ekuacioneve të shkallës së dytë: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula e zgjidhjes së ekuacioneve të shkallës së dytë jep dy zgjidhje, një kur ± është mbledhje dhe një kur është zbritje.

$$3y^{2}-11y+10=0$$

Ky ekuacion është në formën standarde: ax^{2}+bx+c=0. Zëvendëso a me 3, b me -11 dhe c me 10 në formulën e zgjidhjes së ekuacioneve të shkallës së dytë, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$y=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{\left(-11\right)^{2}-4\times 3\times 10}}{2\times 3}$$

Ngri në fuqi të dytë -11.

$$y=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121-4\times 3\times 10}}{2\times 3}$$

Shumëzo -4 herë 3.

$$y=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121-12\times 10}}{2\times 3}$$

Shumëzo -12 herë 10.

$$y=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121-120}}{2\times 3}$$

Mblidh 121 me -120.

$$y=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{1}}{2\times 3}$$

Gjej rrënjën katrore të 1.

$$y=\frac{-\left(-11\right)±1}{2\times 3}$$

E kundërta e -11 është 11.

$$y=\frac{11±1}{2\times 3}$$

Shumëzo 2 herë 3.

$$y=\frac{11±1}{6}$$

Tani zgjidhe ekuacionin y=\frac{11±1}{6} kur ± është plus. Mblidh 11 me 1.

$$y=\frac{12}{6}$$

Pjesëto 12 me 6.

$$y=2$$

Tani zgjidhe ekuacionin y=\frac{11±1}{6} kur ± është minus. Zbrit 1 nga 11.

$$y=\frac{10}{6}$$

Thjeshto thyesën \frac{10}{6} në kufizat më të vogla duke zbritur dhe thjeshtuar 2.

$$y=\frac{5}{3}$$

Ekuacioni është zgjidhur tani.

$$y=2 y=\frac{5}{3}$$

Hapat për plotësimin e katrorit

Ekuacionet e shkallës së dytë si ky mund të zgjidhen duke plotësuar katrorin. Për të plotësuar katrorin, ekuacioni duhet të jetë në fillim në formën x^{2}+bx=c.

$$3y^{2}-11y+10=0$$

Zbrit 10 nga të dyja anët e ekuacionit.

$$3y^{2}-11y+10-10=-10$$

Zbritja e 10 nga vetja e tij jep 0.

$$3y^{2}-11y=-10$$

Pjesëto të dyja anët me 3.

$$\frac{3y^{2}-11y}{3}=-\frac{10}{3}$$

Pjesëtimi me 3 zhbën shumëzimin me 3.

$$y^{2}-\frac{11}{3}y=-\frac{10}{3}$$

Pjesëto -\frac{11}{3}, koeficientin e kufizës x, me 2 për të marrë -\frac{11}{6}. Më pas mblidh katrorin e -\frac{11}{6} në të dyja anët e ekuacionit. Ky hap e bën anën e majtë të ekuacionit një katror të përsosur.

$$y^{2}-\frac{11}{3}y+\left(-\frac{11}{6}\right)^{2}=-\frac{10}{3}+\left(-\frac{11}{6}\right)^{2}$$

Ngri në fuqi të dytë -\frac{11}{6} duke ngritur në fuqi të dytë që të dy, numëruesin dhe emëruesin e thyesës.

$$y^{2}-\frac{11}{3}y+\frac{121}{36}=-\frac{10}{3}+\frac{121}{36}$$

Mblidh -\frac{10}{3} me \frac{121}{36} duke gjetur një emërues të përbashkët dhe duke mbledhur numëruesit. Pastaj zvogëlo thyesën në kufizat më të vogla nëse është e mundur.

$$y^{2}-\frac{11}{3}y+\frac{121}{36}=\frac{1}{36}$$

Faktori y^{2}-\frac{11}{3}y+\frac{121}{36}. Në përgjithësi, kur x^{2}+bx+c është një katror perfekt, mund të faktorizohet gjithmonë si \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(y-\frac{11}{6}\right)^{2}=\frac{1}{36}$$

Gjej rrënjën katrore të të dyja anëve të ekuacionit.

$$\sqrt{\left(y-\frac{11}{6}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1}{36}}$$

Thjeshto.

$$y-\frac{11}{6}=\frac{1}{6} y-\frac{11}{6}=-\frac{1}{6}$$

Mblidh \frac{11}{6} në të dyja anët e ekuacionit.

$$y=2 y=\frac{5}{3}$$