Zgjidh 3x-6x^2=-108

$$3 x - 6 x ^ { 2 } = - 108$$

Gjej x

$$x = \frac{9}{2} = 4\frac{1}{2} = 4.5$$

$$x=-4$$

Hapat që përdorin faktorizimin nëpërmjet grupimit

Shto 108 në të dyja anët.

$$3x-6x^{2}+108=0$$

Pjesëto të dyja anët me 3.

$$x-2x^{2}+36=0$$

Risistemo polinomin për ta vendosur në formën standarde. Renditi kufizat nga fuqia më e madhe tek ajo më e vogël.

$$-2x^{2}+x+36=0$$

Për të zgjidhur ekuacionin, faktorizo anën e majtë nëpërmjet grupimit. Së pari, ana e majtë duhet të rishkruhet si -2x^{2}+ax+bx+36. Për të gjetur a dhe b, parametrizo një sistem për ta zgjidhur.

$$a+b=1 ab=-2\times 36=-72$$

Meqenëse ab është negative, a dhe b kanë shenja të kundërta. Meqenëse a+b është pozitive, numri pozitiv ka vlerë absolute më të madhe se ai negativ. Listo të gjitha këto çifte numrash të plotë që japin prodhimin -72.

$$-1,72 -2,36 -3,24 -4,18 -6,12 -8,9$$

Llogarit shumën për çdo çift.

$$-1+72=71 -2+36=34 -3+24=21 -4+18=14 -6+12=6 -8+9=1$$

Zgjidhja është çifti që jep shumën 1.

$$a=9 b=-8$$

Rishkruaj -2x^{2}+x+36 si \left(-2x^{2}+9x\right)+\left(-8x+36\right).

$$\left(-2x^{2}+9x\right)+\left(-8x+36\right)$$

Faktorizo -x në grupin e parë dhe -4 në të dytin.

$$-x\left(2x-9\right)-4\left(2x-9\right)$$

Faktorizo pjesëtuesin e përbashkët 2x-9 duke përdorur vetinë e shpërndarjes.

$$\left(2x-9\right)\left(-x-4\right)$$

Për të gjetur zgjidhjet e ekuacionit, zgjidh 2x-9=0 dhe -x-4=0.

$$x=\frac{9}{2} x=-4$$

Hapat që përdorin formulën e zgjidhjes së ekuacioneve të shkallës së dytë

Të gjitha ekuacionet e formës ax^{2}+bx+c=0 mund të zgjidhen duke përdorur formulën e zgjidhjes së ekuacioneve të shkallës së dytë: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula e zgjidhjes së ekuacioneve të shkallës së dytë jep dy zgjidhje, një kur ± është mbledhje dhe një kur është zbritje.

$$-6x^{2}+3x=-108$$

Mblidh 108 në të dyja anët e ekuacionit.

$$-6x^{2}+3x-\left(-108\right)=-108-\left(-108\right)$$

Zbritja e -108 nga vetja e tij jep 0.

$$-6x^{2}+3x-\left(-108\right)=0$$

Zbrit -108 nga 0.

$$-6x^{2}+3x+108=0$$

Ky ekuacion është në formën standarde: ax^{2}+bx+c=0. Zëvendëso a me -6, b me 3 dhe c me 108 në formulën e zgjidhjes së ekuacioneve të shkallës së dytë, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-3±\sqrt{3^{2}-4\left(-6\right)\times 108}}{2\left(-6\right)}$$

Ngri në fuqi të dytë 3.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-4\left(-6\right)\times 108}}{2\left(-6\right)}$$

Shumëzo -4 herë -6.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9+24\times 108}}{2\left(-6\right)}$$

Shumëzo 24 herë 108.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9+2592}}{2\left(-6\right)}$$

Mblidh 9 me 2592.

$$x=\frac{-3±\sqrt{2601}}{2\left(-6\right)}$$

Gjej rrënjën katrore të 2601.

$$x=\frac{-3±51}{2\left(-6\right)}$$

Shumëzo 2 herë -6.

$$x=\frac{-3±51}{-12}$$

Tani zgjidhe ekuacionin x=\frac{-3±51}{-12} kur ± është plus. Mblidh -3 me 51.

$$x=\frac{48}{-12}$$

Pjesëto 48 me -12.

$$x=-4$$

Tani zgjidhe ekuacionin x=\frac{-3±51}{-12} kur ± është minus. Zbrit 51 nga -3.

$$x=-\frac{54}{-12}$$

Thjeshto thyesën \frac{-54}{-12} në kufizat më të vogla duke zbritur dhe thjeshtuar 6.

$$x=\frac{9}{2}$$

Ekuacioni është zgjidhur tani.

$$x=-4 x=\frac{9}{2}$$

Hapat për plotësimin e katrorit

Ekuacionet e shkallës së dytë si ky mund të zgjidhen duke plotësuar katrorin. Për të plotësuar katrorin, ekuacioni duhet të jetë në fillim në formën x^{2}+bx=c.

$$-6x^{2}+3x=-108$$

Pjesëto të dyja anët me -6.

$$\frac{-6x^{2}+3x}{-6}=-\frac{108}{-6}$$

Pjesëtimi me -6 zhbën shumëzimin me -6.

$$x^{2}+\frac{3}{-6}x=-\frac{108}{-6}$$

Thjeshto thyesën \frac{3}{-6} në kufizat më të vogla duke zbritur dhe thjeshtuar 3.

$$x^{2}-\frac{1}{2}x=-\frac{108}{-6}$$

Pjesëto -108 me -6.

$$x^{2}-\frac{1}{2}x=18$$

Pjesëto -\frac{1}{2}, koeficientin e kufizës x, me 2 për të marrë -\frac{1}{4}. Më pas mblidh katrorin e -\frac{1}{4} në të dyja anët e ekuacionit. Ky hap e bën anën e majtë të ekuacionit një katror të përsosur.

$$x^{2}-\frac{1}{2}x+\left(-\frac{1}{4}\right)^{2}=18+\left(-\frac{1}{4}\right)^{2}$$

Ngri në fuqi të dytë -\frac{1}{4} duke ngritur në fuqi të dytë që të dy, numëruesin dhe emëruesin e thyesës.

$$x^{2}-\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}=18+\frac{1}{16}$$

Mblidh 18 me \frac{1}{16}.

$$x^{2}-\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}=\frac{289}{16}$$

Faktori x^{2}-\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}. Në përgjithësi, kur x^{2}+bx+c është një katror perfekt, mund të faktorizohet gjithmonë si \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{4}\right)^{2}=\frac{289}{16}$$

Gjej rrënjën katrore të të dyja anëve të ekuacionit.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{289}{16}}$$

Thjeshto.

$$x-\frac{1}{4}=\frac{17}{4} x-\frac{1}{4}=-\frac{17}{4}$$

Mblidh \frac{1}{4} në të dyja anët e ekuacionit.

$$x=\frac{9}{2} x=-4$$