Zgjidh 3x-(k+1)y=20text{and}(k+2)x-10y=40

$$3 x - ( k + 1 ) y = 20 \text { and } ( k + 2 ) x - 10 y = 40$$

Gjej x, y (complex solution)

$$\left\{\begin{matrix}x=\frac{40}{k+7}\text{, }y=-\frac{20}{k+7}\text{, }&k\neq -7\\x=\frac{5\left(y+4\right)}{3}\text{, }y\in \mathrm{C}\text{, }&k=4\end{matrix}\right.$$

Hapat që përdorin zëvendësimin

Merr parasysh ekuacionin e parë. Përdor vetinë e shpërndarjes për të shumëzuar k+1 me y.

$$3x-\left(ky+y\right)=20$$

Për të gjetur të kundërtën e ky+y, gjej të kundërtën e çdo kufize.

$$3x-ky-y=20$$

Kombino të gjitha kufizat që përmbajnë x,y.

$$3x+\left(-k-1\right)y=20$$

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Përdor vetinë e shpërndarjes për të shumëzuar k+2 me x.

$$kx+2x-10y=40$$

Kombino të gjitha kufizat që përmbajnë x,y.

$$\left(k+2\right)x-10y=40$$

Për të zgjidhur një çift ekuacionesh duke përdorur zëvendësimin, në fillim zgjidh njërin prej ekuacioneve për njërën prej ndryshoreve. Më pas zëvendësoje rezultatin për atë ndryshore në ekuacionin tjetër.

$$3x+\left(-k-1\right)y=20,\left(k+2\right)x-10y=40$$

Zgjidh njërin prej ekuacioneve dhe gjej x duke veçuar x në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$3x+\left(-k-1\right)y=20$$

Mblidh \left(k+1\right)y në të dyja anët e ekuacionit.

$$3x=\left(k+1\right)y+20$$

Pjesëto të dyja anët me 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(\left(k+1\right)y+20\right)$$

Shumëzo \frac{1}{3} herë yk+y+20.

$$x=\frac{k+1}{3}y+\frac{20}{3}$$

Zëvendëso x me \frac{yk+y+20}{3} në ekuacionin tjetër, \left(k+2\right)x-10y=40.

$$\left(k+2\right)\left(\frac{k+1}{3}y+\frac{20}{3}\right)-10y=40$$

Shumëzo k+2 herë \frac{yk+y+20}{3}.

$$\frac{\left(k+1\right)\left(k+2\right)}{3}y+\frac{20k+40}{3}-10y=40$$

Mblidh \frac{\left(k+2\right)\left(k+1\right)y}{3} me -10y.

$$\frac{\left(k-4\right)\left(k+7\right)}{3}y+\frac{20k+40}{3}=40$$

Zbrit \frac{40+20k}{3} nga të dyja anët e ekuacionit.

$$\frac{\left(k-4\right)\left(k+7\right)}{3}y=\frac{80-20k}{3}$$

Pjesëto të dyja anët me \frac{\left(-4+k\right)\left(7+k\right)}{3}.

$$y=-\frac{20}{k+7}$$

Zëvendëso y me -\frac{20}{7+k} në x=\frac{k+1}{3}y+\frac{20}{3}. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh x menjëherë.

$$x=\frac{k+1}{3}\left(-\frac{20}{k+7}\right)+\frac{20}{3}$$

Shumëzo \frac{k+1}{3} herë -\frac{20}{7+k}.

$$x=-\frac{20\left(k+1\right)}{3\left(k+7\right)}+\frac{20}{3}$$

Mblidh \frac{20}{3} me -\frac{20\left(k+1\right)}{3\left(7+k\right)}.

$$x=\frac{40}{k+7}$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$x=\frac{40}{k+7},y=-\frac{20}{k+7}$$

Hapat që përdorin matricat

Merr parasysh ekuacionin e parë. Përdor vetinë e shpërndarjes për të shumëzuar k+1 me y.

$$3x-\left(ky+y\right)=20$$

Për të gjetur të kundërtën e ky+y, gjej të kundërtën e çdo kufize.

$$3x-ky-y=20$$

Kombino të gjitha kufizat që përmbajnë x,y.

$$3x+\left(-k-1\right)y=20$$

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Përdor vetinë e shpërndarjes për të shumëzuar k+2 me x.

$$kx+2x-10y=40$$

Kombino të gjitha kufizat që përmbajnë x,y.

$$\left(k+2\right)x-10y=40$$

Vendos ekuacionet në formën standarde dhe më pas përdor matricat për të zgjidhur sistemin e ekuacioneve.

$$3x+\left(-k-1\right)y=20,\left(k+2\right)x-10y=40$$

Shkruaj ekuacionet në formë matrice.

$$\left(\begin{matrix}3&-k-1\\k+2&-10\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}20\\40\end{matrix}\right)$$

Shumëzo majtas ekuacionit me matricën e kundërt të \left(\begin{matrix}3&-k-1\\k+2&-10\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-k-1\\k+2&-10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-k-1\\k+2&-10\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-k-1\\k+2&-10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}20\\40\end{matrix}\right)$$

Prodhimi i një matrice me të kundërtën e saj është matrica e identitetit.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-k-1\\k+2&-10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}20\\40\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-k-1\\k+2&-10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}20\\40\end{matrix}\right)$$

Për matricën 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matrica e anasjelltë është \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kështu që ekuacioni i matricës mund të rishkruhet si problem i shumëzimit të matricave.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{10}{3\left(-10\right)-\left(-k-1\right)\left(k+2\right)}&-\frac{-k-1}{3\left(-10\right)-\left(-k-1\right)\left(k+2\right)}\\-\frac{k+2}{3\left(-10\right)-\left(-k-1\right)\left(k+2\right)}&\frac{3}{3\left(-10\right)-\left(-k-1\right)\left(k+2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}20\\40\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{10}{\left(k-4\right)\left(k+7\right)}&\frac{k+1}{\left(k-4\right)\left(k+7\right)}\\-\frac{k+2}{\left(k-4\right)\left(k+7\right)}&\frac{3}{\left(k-4\right)\left(k+7\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}20\\40\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\left(-\frac{10}{\left(k-4\right)\left(k+7\right)}\right)\times 20+\frac{k+1}{\left(k-4\right)\left(k+7\right)}\times 40\\\left(-\frac{k+2}{\left(k-4\right)\left(k+7\right)}\right)\times 20+\frac{3}{\left(k-4\right)\left(k+7\right)}\times 40\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{40}{k+7}\\-\frac{20}{k+7}\end{matrix}\right)$$

Nxirr elementet e matricës x dhe y.

$$x=\frac{40}{k+7},y=-\frac{20}{k+7}$$

Hapat që përdorin eliminimin

Merr parasysh ekuacionin e parë. Përdor vetinë e shpërndarjes për të shumëzuar k+1 me y.

$$3x-\left(ky+y\right)=20$$

Për të gjetur të kundërtën e ky+y, gjej të kundërtën e çdo kufize.

$$3x-ky-y=20$$

Kombino të gjitha kufizat që përmbajnë x,y.

$$3x+\left(-k-1\right)y=20$$

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Përdor vetinë e shpërndarjes për të shumëzuar k+2 me x.

$$kx+2x-10y=40$$

Kombino të gjitha kufizat që përmbajnë x,y.

$$\left(k+2\right)x-10y=40$$

Për të zgjidhur nëpërmjet eliminimit, koeficientet e njërës prej ndryshoreve duhet të jenë të njëjtë në të dyja ekuacionet në mënyrë që ndryshorja të thjeshtohet kur një ekuacion të zbritet nga tjetri.

$$3x+\left(-k-1\right)y=20,\left(k+2\right)x-10y=40$$

Për ta bërë 3x të barabartë me \left(k+2\right)x, shumëzo të gjitha kufizat në secilën anë të ekuacionit të parë me k+2 dhe të gjitha kufizat në secilën anë të ekuacionit të dytë me 3.

$$\left(k+2\right)\times 3x+\left(k+2\right)\left(-k-1\right)y=\left(k+2\right)\times 20,3\left(k+2\right)x+3\left(-10\right)y=3\times 40$$

Thjeshto.

$$\left(3k+6\right)x+\left(-\left(k+1\right)\left(k+2\right)\right)y=20k+40,\left(3k+6\right)x-30y=120$$

Zbrit \left(3k+6\right)x-30y=120 nga \left(3k+6\right)x+\left(-\left(k+1\right)\left(k+2\right)\right)y=20k+40 duke zbritur kufizat e ngjashme në secilën anë të shenjës së barazimit.

$$\left(3k+6\right)x+\left(-3k-6\right)x+\left(-\left(k+1\right)\left(k+2\right)\right)y+30y=20k+40-120$$

Mblidh 3\left(2+k\right)x me -6x-3xk. Shprehjet 3\left(2+k\right)x dhe -6x-3xk thjeshtohen, duke e lënë ekuacionin vetëm me një ndryshore që mund të gjendet.

$$\left(-\left(k+1\right)\left(k+2\right)\right)y+30y=20k+40-120$$

Mblidh -\left(k+2\right)\left(k+1\right)y me 30y.

$$\left(4-k\right)\left(k+7\right)y=20k+40-120$$

Mblidh 20k+40 me -120.

$$\left(4-k\right)\left(k+7\right)y=20k-80$$

Pjesëto të dyja anët me \left(4-k\right)\left(7+k\right).

$$y=-\frac{20}{k+7}$$

Zëvendëso y me -\frac{20}{7+k} në \left(k+2\right)x-10y=40. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh x menjëherë.

$$\left(k+2\right)x-10\left(-\frac{20}{k+7}\right)=40$$

Shumëzo -10 herë -\frac{20}{7+k}.

$$\left(k+2\right)x+\frac{200}{k+7}=40$$

Zbrit \frac{200}{7+k} nga të dyja anët e ekuacionit.

$$\left(k+2\right)x=\frac{40\left(k+2\right)}{k+7}$$

Pjesëto të dyja anët me k+2.

$$x=\frac{40}{k+7}$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$x=\frac{40}{k+7},y=-\frac{20}{k+7}$$

Gjej x, y

$$\left\{\begin{matrix}x=\frac{40}{k+7}\text{, }y=-\frac{20}{k+7}\text{, }&k\neq -7\text{ and }k\neq 4\\x=\frac{5\left(y+4\right)}{3}\text{, }y\in \mathrm{R}\text{, }&k=4\end{matrix}\right.$$

Hapat që përdorin zëvendësimin

Merr parasysh ekuacionin e parë. Përdor vetinë e shpërndarjes për të shumëzuar k+1 me y.

$$3x-\left(ky+y\right)=20$$

Për të gjetur të kundërtën e ky+y, gjej të kundërtën e çdo kufize.

$$3x-ky-y=20$$

Kombino të gjitha kufizat që përmbajnë x,y.

$$3x+\left(-k-1\right)y=20$$

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Përdor vetinë e shpërndarjes për të shumëzuar k+2 me x.

$$kx+2x-10y=40$$

Kombino të gjitha kufizat që përmbajnë x,y.

$$\left(k+2\right)x-10y=40$$

Për të zgjidhur një çift ekuacionesh duke përdorur zëvendësimin, në fillim zgjidh njërin prej ekuacioneve për njërën prej ndryshoreve. Më pas zëvendësoje rezultatin për atë ndryshore në ekuacionin tjetër.

$$3x+\left(-k-1\right)y=20,\left(k+2\right)x-10y=40$$

Zgjidh njërin prej ekuacioneve dhe gjej x duke veçuar x në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$3x+\left(-k-1\right)y=20$$

Mblidh \left(k+1\right)y në të dyja anët e ekuacionit.

$$3x=\left(k+1\right)y+20$$

Pjesëto të dyja anët me 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(\left(k+1\right)y+20\right)$$

Shumëzo \frac{1}{3} herë yk+y+20.

$$x=\frac{k+1}{3}y+\frac{20}{3}$$

Zëvendëso x me \frac{yk+y+20}{3} në ekuacionin tjetër, \left(k+2\right)x-10y=40.

$$\left(k+2\right)\left(\frac{k+1}{3}y+\frac{20}{3}\right)-10y=40$$

Shumëzo k+2 herë \frac{yk+y+20}{3}.

$$\frac{\left(k+1\right)\left(k+2\right)}{3}y+\frac{20k+40}{3}-10y=40$$

Mblidh \frac{\left(k+2\right)\left(k+1\right)y}{3} me -10y.

$$\frac{\left(k-4\right)\left(k+7\right)}{3}y+\frac{20k+40}{3}=40$$

Zbrit \frac{40+20k}{3} nga të dyja anët e ekuacionit.

$$\frac{\left(k-4\right)\left(k+7\right)}{3}y=\frac{80-20k}{3}$$

Pjesëto të dyja anët me \frac{\left(-4+k\right)\left(7+k\right)}{3}.

$$y=-\frac{20}{k+7}$$

Zëvendëso y me -\frac{20}{7+k} në x=\frac{k+1}{3}y+\frac{20}{3}. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh x menjëherë.

$$x=\frac{k+1}{3}\left(-\frac{20}{k+7}\right)+\frac{20}{3}$$

Shumëzo \frac{k+1}{3} herë -\frac{20}{7+k}.

$$x=-\frac{20\left(k+1\right)}{3\left(k+7\right)}+\frac{20}{3}$$

Mblidh \frac{20}{3} me -\frac{20\left(k+1\right)}{3\left(7+k\right)}.

$$x=\frac{40}{k+7}$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$x=\frac{40}{k+7},y=-\frac{20}{k+7}$$

Hapat që përdorin matricat

Merr parasysh ekuacionin e parë. Përdor vetinë e shpërndarjes për të shumëzuar k+1 me y.

$$3x-\left(ky+y\right)=20$$

Për të gjetur të kundërtën e ky+y, gjej të kundërtën e çdo kufize.

$$3x-ky-y=20$$

Kombino të gjitha kufizat që përmbajnë x,y.

$$3x+\left(-k-1\right)y=20$$

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Përdor vetinë e shpërndarjes për të shumëzuar k+2 me x.

$$kx+2x-10y=40$$

Kombino të gjitha kufizat që përmbajnë x,y.

$$\left(k+2\right)x-10y=40$$

Vendos ekuacionet në formën standarde dhe më pas përdor matricat për të zgjidhur sistemin e ekuacioneve.

$$3x+\left(-k-1\right)y=20,\left(k+2\right)x-10y=40$$

Shkruaj ekuacionet në formë matrice.

$$\left(\begin{matrix}3&-k-1\\k+2&-10\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}20\\40\end{matrix}\right)$$

Shumëzo majtas ekuacionit me matricën e kundërt të \left(\begin{matrix}3&-k-1\\k+2&-10\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-k-1\\k+2&-10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-k-1\\k+2&-10\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-k-1\\k+2&-10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}20\\40\end{matrix}\right)$$

Prodhimi i një matrice me të kundërtën e saj është matrica e identitetit.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-k-1\\k+2&-10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}20\\40\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-k-1\\k+2&-10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}20\\40\end{matrix}\right)$$

Për matricën 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matrica e anasjelltë është \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kështu që ekuacioni i matricës mund të rishkruhet si problem i shumëzimit të matricave.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{10}{3\left(-10\right)-\left(-k-1\right)\left(k+2\right)}&-\frac{-k-1}{3\left(-10\right)-\left(-k-1\right)\left(k+2\right)}\\-\frac{k+2}{3\left(-10\right)-\left(-k-1\right)\left(k+2\right)}&\frac{3}{3\left(-10\right)-\left(-k-1\right)\left(k+2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}20\\40\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{10}{\left(k-4\right)\left(k+7\right)}&\frac{k+1}{\left(k-4\right)\left(k+7\right)}\\-\frac{k+2}{\left(k-4\right)\left(k+7\right)}&\frac{3}{\left(k-4\right)\left(k+7\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}20\\40\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\left(-\frac{10}{\left(k-4\right)\left(k+7\right)}\right)\times 20+\frac{k+1}{\left(k-4\right)\left(k+7\right)}\times 40\\\left(-\frac{k+2}{\left(k-4\right)\left(k+7\right)}\right)\times 20+\frac{3}{\left(k-4\right)\left(k+7\right)}\times 40\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{40}{k+7}\\-\frac{20}{k+7}\end{matrix}\right)$$

Nxirr elementet e matricës x dhe y.

$$x=\frac{40}{k+7},y=-\frac{20}{k+7}$$

Hapat që përdorin eliminimin

Merr parasysh ekuacionin e parë. Përdor vetinë e shpërndarjes për të shumëzuar k+1 me y.

$$3x-\left(ky+y\right)=20$$

Për të gjetur të kundërtën e ky+y, gjej të kundërtën e çdo kufize.

$$3x-ky-y=20$$

Kombino të gjitha kufizat që përmbajnë x,y.

$$3x+\left(-k-1\right)y=20$$

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Përdor vetinë e shpërndarjes për të shumëzuar k+2 me x.

$$kx+2x-10y=40$$

Kombino të gjitha kufizat që përmbajnë x,y.

$$\left(k+2\right)x-10y=40$$

Për të zgjidhur nëpërmjet eliminimit, koeficientet e njërës prej ndryshoreve duhet të jenë të njëjtë në të dyja ekuacionet në mënyrë që ndryshorja të thjeshtohet kur një ekuacion të zbritet nga tjetri.

$$3x+\left(-k-1\right)y=20,\left(k+2\right)x-10y=40$$

Për ta bërë 3x të barabartë me \left(k+2\right)x, shumëzo të gjitha kufizat në secilën anë të ekuacionit të parë me k+2 dhe të gjitha kufizat në secilën anë të ekuacionit të dytë me 3.

$$\left(k+2\right)\times 3x+\left(k+2\right)\left(-k-1\right)y=\left(k+2\right)\times 20,3\left(k+2\right)x+3\left(-10\right)y=3\times 40$$

Thjeshto.

$$\left(3k+6\right)x+\left(-\left(k+1\right)\left(k+2\right)\right)y=20k+40,\left(3k+6\right)x-30y=120$$

Zbrit \left(3k+6\right)x-30y=120 nga \left(3k+6\right)x+\left(-\left(k+1\right)\left(k+2\right)\right)y=20k+40 duke zbritur kufizat e ngjashme në secilën anë të shenjës së barazimit.

$$\left(3k+6\right)x+\left(-3k-6\right)x+\left(-\left(k+1\right)\left(k+2\right)\right)y+30y=20k+40-120$$

Mblidh 3\left(2+k\right)x me -6x-3xk. Shprehjet 3\left(2+k\right)x dhe -6x-3xk thjeshtohen, duke e lënë ekuacionin vetëm me një ndryshore që mund të gjendet.

$$\left(-\left(k+1\right)\left(k+2\right)\right)y+30y=20k+40-120$$

Mblidh -\left(k+2\right)\left(k+1\right)y me 30y.

$$\left(4-k\right)\left(k+7\right)y=20k+40-120$$

Mblidh 20k+40 me -120.

$$\left(4-k\right)\left(k+7\right)y=20k-80$$

Pjesëto të dyja anët me \left(4-k\right)\left(7+k\right).

$$y=-\frac{20}{k+7}$$

Zëvendëso y me -\frac{20}{7+k} në \left(k+2\right)x-10y=40. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh x menjëherë.

$$\left(k+2\right)x-10\left(-\frac{20}{k+7}\right)=40$$

Shumëzo -10 herë -\frac{20}{7+k}.

$$\left(k+2\right)x+\frac{200}{k+7}=40$$

Zbrit \frac{200}{7+k} nga të dyja anët e ekuacionit.

$$\left(k+2\right)x=\frac{40\left(k+2\right)}{k+7}$$

Pjesëto të dyja anët me k+2.

$$x=\frac{40}{k+7}$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$x=\frac{40}{k+7},y=-\frac{20}{k+7}$$