Zgjidh 3x^2-32x+84=0

$$3 x ^ { 2 } - 32 x + 84 = 0$$

Gjej x

$$x=6$$

$$x = \frac{14}{3} = 4\frac{2}{3} \approx 4.666666667$$

Hapat që përdorin faktorizimin nëpërmjet grupimit

Për të zgjidhur ekuacionin, faktorizo anën e majtë nëpërmjet grupimit. Së pari, ana e majtë duhet të rishkruhet si 3x^{2}+ax+bx+84. Për të gjetur a dhe b, parametrizo një sistem për ta zgjidhur.

$$a+b=-32 ab=3\times 84=252$$

Meqenëse ab është pozitive, a dhe b kanë shenjë të njëjtë. Meqenëse a+b është negative, a dhe b janë të dyja negative. Listo të gjitha këto çifte numrash të plotë që japin prodhimin 252.

$$-1,-252 -2,-126 -3,-84 -4,-63 -6,-42 -7,-36 -9,-28 -12,-21 -14,-18$$

Llogarit shumën për çdo çift.

$$-1-252=-253 -2-126=-128 -3-84=-87 -4-63=-67 -6-42=-48 -7-36=-43 -9-28=-37 -12-21=-33 -14-18=-32$$

Zgjidhja është çifti që jep shumën -32.

$$a=-18 b=-14$$

Rishkruaj 3x^{2}-32x+84 si \left(3x^{2}-18x\right)+\left(-14x+84\right).

$$\left(3x^{2}-18x\right)+\left(-14x+84\right)$$

Faktorizo 3x në grupin e parë dhe -14 në të dytin.

$$3x\left(x-6\right)-14\left(x-6\right)$$

Faktorizo pjesëtuesin e përbashkët x-6 duke përdorur vetinë e shpërndarjes.

$$\left(x-6\right)\left(3x-14\right)$$

Për të gjetur zgjidhjet e ekuacionit, zgjidh x-6=0 dhe 3x-14=0.

$$x=6 x=\frac{14}{3}$$

Hapat që përdorin formulën e zgjidhjes së ekuacioneve të shkallës së dytë

Të gjitha ekuacionet e formës ax^{2}+bx+c=0 mund të zgjidhen duke përdorur formulën e zgjidhjes së ekuacioneve të shkallës së dytë: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula e zgjidhjes së ekuacioneve të shkallës së dytë jep dy zgjidhje, një kur ± është mbledhje dhe një kur është zbritje.

$$3x^{2}-32x+84=0$$

Ky ekuacion është në formën standarde: ax^{2}+bx+c=0. Zëvendëso a me 3, b me -32 dhe c me 84 në formulën e zgjidhjes së ekuacioneve të shkallës së dytë, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-32\right)±\sqrt{\left(-32\right)^{2}-4\times 3\times 84}}{2\times 3}$$

Ngri në fuqi të dytë -32.

$$x=\frac{-\left(-32\right)±\sqrt{1024-4\times 3\times 84}}{2\times 3}$$

Shumëzo -4 herë 3.

$$x=\frac{-\left(-32\right)±\sqrt{1024-12\times 84}}{2\times 3}$$

Shumëzo -12 herë 84.

$$x=\frac{-\left(-32\right)±\sqrt{1024-1008}}{2\times 3}$$

Mblidh 1024 me -1008.

$$x=\frac{-\left(-32\right)±\sqrt{16}}{2\times 3}$$

Gjej rrënjën katrore të 16.

$$x=\frac{-\left(-32\right)±4}{2\times 3}$$

E kundërta e -32 është 32.

$$x=\frac{32±4}{2\times 3}$$

Shumëzo 2 herë 3.

$$x=\frac{32±4}{6}$$

Tani zgjidhe ekuacionin x=\frac{32±4}{6} kur ± është plus. Mblidh 32 me 4.

$$x=\frac{36}{6}$$

Pjesëto 36 me 6.

$$x=6$$

Tani zgjidhe ekuacionin x=\frac{32±4}{6} kur ± është minus. Zbrit 4 nga 32.

$$x=\frac{28}{6}$$

Thjeshto thyesën \frac{28}{6} në kufizat më të vogla duke zbritur dhe thjeshtuar 2.

$$x=\frac{14}{3}$$

Ekuacioni është zgjidhur tani.

$$x=6 x=\frac{14}{3}$$

Hapat për plotësimin e katrorit

Ekuacionet e shkallës së dytë si ky mund të zgjidhen duke plotësuar katrorin. Për të plotësuar katrorin, ekuacioni duhet të jetë në fillim në formën x^{2}+bx=c.

$$3x^{2}-32x+84=0$$

Zbrit 84 nga të dyja anët e ekuacionit.

$$3x^{2}-32x+84-84=-84$$

Zbritja e 84 nga vetja e tij jep 0.

$$3x^{2}-32x=-84$$

Pjesëto të dyja anët me 3.

$$\frac{3x^{2}-32x}{3}=-\frac{84}{3}$$

Pjesëtimi me 3 zhbën shumëzimin me 3.

$$x^{2}-\frac{32}{3}x=-\frac{84}{3}$$

Pjesëto -84 me 3.

$$x^{2}-\frac{32}{3}x=-28$$

Pjesëto -\frac{32}{3}, koeficientin e kufizës x, me 2 për të marrë -\frac{16}{3}. Më pas mblidh katrorin e -\frac{16}{3} në të dyja anët e ekuacionit. Ky hap e bën anën e majtë të ekuacionit një katror të përsosur.

$$x^{2}-\frac{32}{3}x+\left(-\frac{16}{3}\right)^{2}=-28+\left(-\frac{16}{3}\right)^{2}$$

Ngri në fuqi të dytë -\frac{16}{3} duke ngritur në fuqi të dytë që të dy, numëruesin dhe emëruesin e thyesës.

$$x^{2}-\frac{32}{3}x+\frac{256}{9}=-28+\frac{256}{9}$$

Mblidh -28 me \frac{256}{9}.

$$x^{2}-\frac{32}{3}x+\frac{256}{9}=\frac{4}{9}$$

Faktori x^{2}-\frac{32}{3}x+\frac{256}{9}. Në përgjithësi, kur x^{2}+bx+c është një katror perfekt, mund të faktorizohet gjithmonë si \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{16}{3}\right)^{2}=\frac{4}{9}$$

Gjej rrënjën katrore të të dyja anëve të ekuacionit.

$$\sqrt{\left(x-\frac{16}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{4}{9}}$$

Thjeshto.

$$x-\frac{16}{3}=\frac{2}{3} x-\frac{16}{3}=-\frac{2}{3}$$

Mblidh \frac{16}{3} në të dyja anët e ekuacionit.

$$x=6 x=\frac{14}{3}$$