Zgjidh 3x^2-2x-16=0

$$3 x ^ { 2 } - 2 x - 16 = 0$$

Gjej x

$$x=-2$$

$$x = \frac{8}{3} = 2\frac{2}{3} \approx 2.666666667$$

Hapat që përdorin faktorizimin nëpërmjet grupimit

Për të zgjidhur ekuacionin, faktorizo anën e majtë nëpërmjet grupimit. Së pari, ana e majtë duhet të rishkruhet si 3x^{2}+ax+bx-16. Për të gjetur a dhe b, parametrizo një sistem për ta zgjidhur.

$$a+b=-2 ab=3\left(-16\right)=-48$$

Meqenëse ab është negative, a dhe b kanë shenja të kundërta. Meqenëse a+b është negative, numri negativ ka vlerë absolute më të madhe se ai pozitiv. Listo të gjitha këto çifte numrash të plotë që japin prodhimin -48.

$$1,-48 2,-24 3,-16 4,-12 6,-8$$

Llogarit shumën për çdo çift.

$$1-48=-47 2-24=-22 3-16=-13 4-12=-8 6-8=-2$$

Zgjidhja është çifti që jep shumën -2.

$$a=-8 b=6$$

Rishkruaj 3x^{2}-2x-16 si \left(3x^{2}-8x\right)+\left(6x-16\right).

$$\left(3x^{2}-8x\right)+\left(6x-16\right)$$

Faktorizo x në grupin e parë dhe 2 në të dytin.

$$x\left(3x-8\right)+2\left(3x-8\right)$$

Faktorizo pjesëtuesin e përbashkët 3x-8 duke përdorur vetinë e shpërndarjes.

$$\left(3x-8\right)\left(x+2\right)$$

Për të gjetur zgjidhjet e ekuacionit, zgjidh 3x-8=0 dhe x+2=0.

$$x=\frac{8}{3} x=-2$$

Hapat që përdorin formulën e zgjidhjes së ekuacioneve të shkallës së dytë

Të gjitha ekuacionet e formës ax^{2}+bx+c=0 mund të zgjidhen duke përdorur formulën e zgjidhjes së ekuacioneve të shkallës së dytë: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula e zgjidhjes së ekuacioneve të shkallës së dytë jep dy zgjidhje, një kur ± është mbledhje dhe një kur është zbritje.

$$3x^{2}-2x-16=0$$

Ky ekuacion është në formën standarde: ax^{2}+bx+c=0. Zëvendëso a me 3, b me -2 dhe c me -16 në formulën e zgjidhjes së ekuacioneve të shkallës së dytë, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{\left(-2\right)^{2}-4\times 3\left(-16\right)}}{2\times 3}$$

Ngri në fuqi të dytë -2.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-4\times 3\left(-16\right)}}{2\times 3}$$

Shumëzo -4 herë 3.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-12\left(-16\right)}}{2\times 3}$$

Shumëzo -12 herë -16.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4+192}}{2\times 3}$$

Mblidh 4 me 192.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{196}}{2\times 3}$$

Gjej rrënjën katrore të 196.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±14}{2\times 3}$$

E kundërta e -2 është 2.

$$x=\frac{2±14}{2\times 3}$$

Shumëzo 2 herë 3.

$$x=\frac{2±14}{6}$$

Tani zgjidhe ekuacionin x=\frac{2±14}{6} kur ± është plus. Mblidh 2 me 14.

$$x=\frac{16}{6}$$

Thjeshto thyesën \frac{16}{6} në kufizat më të vogla duke zbritur dhe thjeshtuar 2.

$$x=\frac{8}{3}$$

Tani zgjidhe ekuacionin x=\frac{2±14}{6} kur ± është minus. Zbrit 14 nga 2.

$$x=-\frac{12}{6}$$

Pjesëto -12 me 6.

$$x=-2$$

Ekuacioni është zgjidhur tani.

$$x=\frac{8}{3} x=-2$$

Hapat për plotësimin e katrorit

Ekuacionet e shkallës së dytë si ky mund të zgjidhen duke plotësuar katrorin. Për të plotësuar katrorin, ekuacioni duhet të jetë në fillim në formën x^{2}+bx=c.

$$3x^{2}-2x-16=0$$

Mblidh 16 në të dyja anët e ekuacionit.

$$3x^{2}-2x-16-\left(-16\right)=-\left(-16\right)$$

Zbritja e -16 nga vetja e tij jep 0.

$$3x^{2}-2x=-\left(-16\right)$$

Zbrit -16 nga 0.

$$3x^{2}-2x=16$$

Pjesëto të dyja anët me 3.

$$\frac{3x^{2}-2x}{3}=\frac{16}{3}$$

Pjesëtimi me 3 zhbën shumëzimin me 3.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x=\frac{16}{3}$$

Pjesëto -\frac{2}{3}, koeficientin e kufizës x, me 2 për të marrë -\frac{1}{3}. Më pas mblidh katrorin e -\frac{1}{3} në të dyja anët e ekuacionit. Ky hap e bën anën e majtë të ekuacionit një katror të përsosur.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x+\left(-\frac{1}{3}\right)^{2}=\frac{16}{3}+\left(-\frac{1}{3}\right)^{2}$$

Ngri në fuqi të dytë -\frac{1}{3} duke ngritur në fuqi të dytë që të dy, numëruesin dhe emëruesin e thyesës.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}=\frac{16}{3}+\frac{1}{9}$$

Mblidh \frac{16}{3} me \frac{1}{9} duke gjetur një emërues të përbashkët dhe duke mbledhur numëruesit. Pastaj zvogëlo thyesën në kufizat më të vogla nëse është e mundur.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}=\frac{49}{9}$$

Faktori x^{2}-\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}. Në përgjithësi, kur x^{2}+bx+c është një katror perfekt, mund të faktorizohet gjithmonë si \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{3}\right)^{2}=\frac{49}{9}$$

Gjej rrënjën katrore të të dyja anëve të ekuacionit.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{9}}$$

Thjeshto.

$$x-\frac{1}{3}=\frac{7}{3} x-\frac{1}{3}=-\frac{7}{3}$$

Mblidh \frac{1}{3} në të dyja anët e ekuacionit.

$$x=\frac{8}{3} x=-2$$