Zgjidh 3x^2+16x-12=0

$$3 x ^ { 2 } + 16 x - 12 = 0$$

Gjej x

$$x=-6$$

$$x=\frac{2}{3}\approx 0.666666667$$

Hapat që përdorin faktorizimin nëpërmjet grupimit

Për të zgjidhur ekuacionin, faktorizo anën e majtë nëpërmjet grupimit. Së pari, ana e majtë duhet të rishkruhet si 3x^{2}+ax+bx-12. Për të gjetur a dhe b, parametrizo një sistem për ta zgjidhur.

$$a+b=16 ab=3\left(-12\right)=-36$$

Meqenëse ab është negative, a dhe b kanë shenja të kundërta. Meqenëse a+b është pozitive, numri pozitiv ka vlerë absolute më të madhe se ai negativ. Listo të gjitha këto çifte numrash të plotë që japin prodhimin -36.

$$-1,36 -2,18 -3,12 -4,9 -6,6$$

Llogarit shumën për çdo çift.

$$-1+36=35 -2+18=16 -3+12=9 -4+9=5 -6+6=0$$

Zgjidhja është çifti që jep shumën 16.

$$a=-2 b=18$$

Rishkruaj 3x^{2}+16x-12 si \left(3x^{2}-2x\right)+\left(18x-12\right).

$$\left(3x^{2}-2x\right)+\left(18x-12\right)$$

Faktorizo x në grupin e parë dhe 6 në të dytin.

$$x\left(3x-2\right)+6\left(3x-2\right)$$

Faktorizo pjesëtuesin e përbashkët 3x-2 duke përdorur vetinë e shpërndarjes.

$$\left(3x-2\right)\left(x+6\right)$$

Për të gjetur zgjidhjet e ekuacionit, zgjidh 3x-2=0 dhe x+6=0.

$$x=\frac{2}{3} x=-6$$

Hapat që përdorin formulën e zgjidhjes së ekuacioneve të shkallës së dytë

Të gjitha ekuacionet e formës ax^{2}+bx+c=0 mund të zgjidhen duke përdorur formulën e zgjidhjes së ekuacioneve të shkallës së dytë: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula e zgjidhjes së ekuacioneve të shkallës së dytë jep dy zgjidhje, një kur ± është mbledhje dhe një kur është zbritje.

$$3x^{2}+16x-12=0$$

Ky ekuacion është në formën standarde: ax^{2}+bx+c=0. Zëvendëso a me 3, b me 16 dhe c me -12 në formulën e zgjidhjes së ekuacioneve të shkallës së dytë, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-16±\sqrt{16^{2}-4\times 3\left(-12\right)}}{2\times 3}$$

Ngri në fuqi të dytë 16.

$$x=\frac{-16±\sqrt{256-4\times 3\left(-12\right)}}{2\times 3}$$

Shumëzo -4 herë 3.

$$x=\frac{-16±\sqrt{256-12\left(-12\right)}}{2\times 3}$$

Shumëzo -12 herë -12.

$$x=\frac{-16±\sqrt{256+144}}{2\times 3}$$

Mblidh 256 me 144.

$$x=\frac{-16±\sqrt{400}}{2\times 3}$$

Gjej rrënjën katrore të 400.

$$x=\frac{-16±20}{2\times 3}$$

Shumëzo 2 herë 3.

$$x=\frac{-16±20}{6}$$

Tani zgjidhe ekuacionin x=\frac{-16±20}{6} kur ± është plus. Mblidh -16 me 20.

$$x=\frac{4}{6}$$

Thjeshto thyesën \frac{4}{6} në kufizat më të vogla duke zbritur dhe thjeshtuar 2.

$$x=\frac{2}{3}$$

Tani zgjidhe ekuacionin x=\frac{-16±20}{6} kur ± është minus. Zbrit 20 nga -16.

$$x=-\frac{36}{6}$$

Pjesëto -36 me 6.

$$x=-6$$

Ekuacioni është zgjidhur tani.

$$x=\frac{2}{3} x=-6$$

Hapat për plotësimin e katrorit

Ekuacionet e shkallës së dytë si ky mund të zgjidhen duke plotësuar katrorin. Për të plotësuar katrorin, ekuacioni duhet të jetë në fillim në formën x^{2}+bx=c.

$$3x^{2}+16x-12=0$$

Mblidh 12 në të dyja anët e ekuacionit.

$$3x^{2}+16x-12-\left(-12\right)=-\left(-12\right)$$

Zbritja e -12 nga vetja e tij jep 0.

$$3x^{2}+16x=-\left(-12\right)$$

Zbrit -12 nga 0.

$$3x^{2}+16x=12$$

Pjesëto të dyja anët me 3.

$$\frac{3x^{2}+16x}{3}=\frac{12}{3}$$

Pjesëtimi me 3 zhbën shumëzimin me 3.

$$x^{2}+\frac{16}{3}x=\frac{12}{3}$$

Pjesëto 12 me 3.

$$x^{2}+\frac{16}{3}x=4$$

Pjesëto \frac{16}{3}, koeficientin e kufizës x, me 2 për të marrë \frac{8}{3}. Më pas mblidh katrorin e \frac{8}{3} në të dyja anët e ekuacionit. Ky hap e bën anën e majtë të ekuacionit një katror të përsosur.

$$x^{2}+\frac{16}{3}x+\left(\frac{8}{3}\right)^{2}=4+\left(\frac{8}{3}\right)^{2}$$

Ngri në fuqi të dytë \frac{8}{3} duke ngritur në fuqi të dytë që të dy, numëruesin dhe emëruesin e thyesës.

$$x^{2}+\frac{16}{3}x+\frac{64}{9}=4+\frac{64}{9}$$

Mblidh 4 me \frac{64}{9}.

$$x^{2}+\frac{16}{3}x+\frac{64}{9}=\frac{100}{9}$$

Faktori x^{2}+\frac{16}{3}x+\frac{64}{9}. Në përgjithësi, kur x^{2}+bx+c është një katror perfekt, mund të faktorizohet gjithmonë si \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{8}{3}\right)^{2}=\frac{100}{9}$$

Gjej rrënjën katrore të të dyja anëve të ekuacionit.

$$\sqrt{\left(x+\frac{8}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{100}{9}}$$

Thjeshto.

$$x+\frac{8}{3}=\frac{10}{3} x+\frac{8}{3}=-\frac{10}{3}$$

Zbrit \frac{8}{3} nga të dyja anët e ekuacionit.

$$x=\frac{2}{3} x=-6$$